Álgebra de Banach

Em análise funcional, uma álgebra de Banach A é um espaço de Banach e uma álgebra associativa sobre um corpo (normalmente $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$), em que o produto $*$ é associativo e a norma satisfaz:

• $||u*v||\leq ||u||||v||$, para todo par $u,v\in A$

Essa propriedade garante que a operação multiplicação é contínua.

• Se existe uma identidade multiplicativa $I$, chamamos $I$ de unidade
• Uma álgebra de Banach é dita unital se se tiver identidade multiplicativa $I$ de modo que $||I||=1$. Podemos provar se a álgebra de Banach possui unidade, há uma norma equivalente onde ela será unital
• Dizemos que a álgebra é comutativa se a operação $*$ for comutativa
• Se $B\subset A$ e $B$ é álgebra com a mesma multiplicação de $A$, então dizemos que $B$ é subálgebra de $A$
• Toda álgebra de Banach é isométrica a uma subálgebra de uma álgebra unital de Banach. Isto garante que toda álgebra de Banach pode ser vista como subálgebra de uma que seja Banach e unital

Por causa do ultimo item acima é comum presumir que sempre tratamos de uma álgebra de Banach unital. Dizemos que um elemento $x\in A$ é inversível se existe $y\in A$ de modo que $x*y=y*x=I$. Uma $C$*-álgebra é uma álgebra de Banach munida de uma involução satisfazendo propriedades da adjunta.

Alguns fatos

• Toda $C^{\star }$-álgebra é uma álgebra de Banach, por definição.
• Em uma álgebra de Banach, o espectro de um elemento é um subconjunto fechado de $\mathbb {C}$.
• A soma direta de álgebras de Banach ainda é uma álgebra de Banach.
• Toda álgebra de Banach sobre os reais que é também uma álgebra com divisão é isomorfa ou aos reais ou aos complexos ou aos quatérnios. Isso implica que a única álgebra de Banach sobre os complexos que é também álgebra com divisão é os próprio $\mathbb {C}$ (Teorema de Gelfand–Mazur)
• Numa álgebra de Banach unital, o conjunto dos elementos invertíveis forma um conjunto aberto (na topologia do espaço topológico induzido pela norma)
• Numa álgebra de Banach unital sobre os reais ou sobre os complexos, se $x$ é elemento da álgebra de modo que $||x-I||<1$, então $x$ é inversível

Alguns exemplos

• O conjunto dos reais (ou dos complexos) forma uma álgebra de Banach com a norma dada pelo módulo
• O espaço de n-uplas reais $\mathbb {R} ^{n}$ (ou complexas $\mathbb {C} ^{n}$) é uma ágebra de Banach com a norma $||(x_{1},...,x_{n})||=max\{|x_{i}|:i=1,2,3,...,n\}$ e o produto termo a termo
• Os quatérnios são uma álgebra de Banach sobre os reais, com a norma sendo o valor absoluto
• Os quatérnios não formam uma álgebra de Banach sobre os complexos

Teoria espectral

Álgebras unitais sobre os complexos dão um contexto base para a teoria espectral. Dado $x\in A$ elemento da álgebra de Banach unital sobre os complexos, definimos o espectro de $x$ como $\sigma (x)=\{\lambda \in \mathbb {C} :x-\lambda I~~{\text{não é invertivel}}\}$ . O espectro de um elemento, nestas condições, é compacto e não vazio sempre e satisfaz a formula do raio espectral:

$\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim \limits _{n\to \infty }||x^{n}||^{1/n}$