Índice (matemática)

Em matemática, índice de uma curva plana, fechada e parametrizada (lacete) γ em torno de um ponto p situado fora da curva, é um número inteiro que representa o total de voltas que a curva descreve ao redor de p, no sentido direto (anti-horário). Representa-se por :

Esta curva tem índice dois, em torno do ponto p.

O índice desta curva ao redor de p é 2, pois o objeto que percorre a curva vermelha efetuará duas rotações completas, no sentido anti-horário, em torno da pessoa situada na origem.

$\operatorname {ind} (p,\gamma )$

As voltas realizadas em sentido anti-horário contam como positivas, e as realizadas em sentido horário têm valor negativo. Assim, por exemplo, se um objeto percorre a curva em torno de p, descrevendo quatro voltas em sentido anti-horário e uma em sentido horário, o índice da curva ao redor do ponto p é três. O índice depende portanto da orientação da curva, e muda de sinal ao mudar de orientação.

As curvas mostradas a seguir têm índices que variam de −2 a 3:

$\cdots$
	−2	−1	0
				$\cdots$
	1	2	3

O índice é um objeto de estudo fundamental em topologia algébrica e desempenha um importante papel em cálculo vetorial, análise complexa, topologia geométrica, geometria diferencial e física.

Definição formal

Uma curva no plano xy pode ser definida pelas seguintes equações paramétricas:

$x=x(t)\quad {\text{e}}\quad y=y(t)\qquad {\text{para }}0\leq t\leq 1.$

Se o parâmetro t corresponde a tempo, então essas equações especificam o movimento de um objeto no plano entre t = 0 e t = 1. A trajetória desse movimento é uma curva, sendo as funções x(t) and y(t) contínuas. Essa curva é fechada se a posição do objeto é a mesma em t = 0 e em t = 1.

Pode-se definir o índice dessa curva usando o sistema de coordenadas polares. Assumindo que a curva não passa pela origem, pode-se reescrever as equações paramétricas em forma polar, conforme segue:

$r=r(t)\quad {\text{e}}\quad \theta =\theta (t)\qquad {\text{para }}0\leq t\leq 1.$,

sendo r e θ as coordenadas polares do ponto p do plano euclidiano $\mathbb {R} ^{2}$ cuja origem é denotada por O, definidas como:

• r: a distância entre p e a origem O
• θ: o ângulo formado entre o segmento de reta que une p a O e o eixo dos xx.

As funções r(t) e θ(t) devem ser contínuas, com r > 0. Como as posições inicial e final são iguais, θ(0) e θ(1) diferem por um número inteiro múltiplo de 2π. Esse número é o índice. Portanto:

$\operatorname {ind} (p,\gamma )={\frac {\theta (1)-\theta (0)}{2\pi }}$

Esta equação define o índice de um lacete em torno da origem O no plano xy. Pode-se estender essa definição, de modo a obter os índices em torno de qualquer ponto p.

Ver também

• Teorema dos resíduos