Algoritmo de Euclides estendido

O Algoritmo de Euclides estendido é uma extensão do algoritmo de Euclides, que, além de calcular o máximo divisor comum (MDC) entre $a,b\in \mathbb {Z} ,$ fornece os coeficientes $\alpha ,\beta \in \mathbb {Z}$ tais que $\alpha a+\beta b=mdc(a,b).$

Procedimento de algoritmo euclidiano estendido.

O algoritmo é utilizado, em especial, para o cálculo de inverso modular. Se $a$ e $b$ são coprimos, então $\alpha$ é o inverso modular de $a$ módulo $b$ e $\beta$ é o inverso modular de $b$ módulo $a.$ Essa propriedade é amplamente utilizada no estudo em Criptografia, mais especificamente, no processo de quebra de chaves privadas do método de encriptação RSA.

Entendendo o algoritmo

O Algoritmo de Euclides nos fornece a seguinte propriedade: na k-ésima iteração, vale que

$$r_{k+1}=r_{k-1}-r_{k}q_{k}$$

em que $q_{k}={\frac {r_{k-1}}{r_{k}}}$ é uma divisão inteira.

O algoritmo acaba quando $r_{k+1}=0,$ definindo o resto atual como o máximo divisor comum: $r_{k}=MDC(a,b).$

Para estender o algoritmo, queremos também manter a seguinte propriedade:

$$r_{k}=au_{k}+bv_{k}$$

dessa forma, quando o algoritmo acabar, teremos valores $u_{k}$ e $v_{k}$ que satisfazem o teorema de Bézout.

Para isso, assuma que nós temos esses valores para a iteração $k$ e para a iteração anterior, $k-1:$ ou seja, assuma que já temos os valores que satisfazem as duas igualdades a seguir:

$$r_{k}=au_{k}+bv_{k}$$ e $$r_{k-1}=au_{k-1}+bv_{k-1}$$

então, para o próximo resto, teremos

$${\begin{aligned}r_{k+1}&=r_{k-1}-r_{k}q_{k}\\&=(au_{k-1}+bv_{k-1})-(au_{k}+bv_{k})q_{k}\\&=au_{k-1}-au_{k}q_{k}+bv_{k-1}-bv_{k}q_{k}\\&=a(u_{k-1}-u_{k}q_{k})+b(v_{k-1}-v_{k}q_{k})\\&=au_{k+1}+bv_{k+1}\\\end{aligned}}$$

Ou seja, se a igualdade de Bézout vale para a iteração atual do algoritmo e para a iteração anterior, então, ela vale para a próxima e os valores de Bézout são

$$u_{k+1}=u_{k-1}-u_{k}q_{k}$$

e

$$v_{k+1}=v_{k-1}-v_{k}q_{k}$$

Perceba que os valores de Bézout também estão sendo totalmente definidos pelos valores das duas últimas iterações do algoritmo.

Dessa forma, para estender o Algoritmo de Euclides original, só precisamos guardar os valores referentes à essas duas sequências ($v_{k}$ e $u_{k}$) além da que o original já guarda (a sequência $r_{k}$) e definir valores para que tenhamos igualdades válidas para $k=0$ e para $k=1$ (já que cada sequência é definida em termos de duas iterações anteriores).

No entanto, definir esses valores é fácil: podemos tomar

$$(r_{0},u_{0},v_{0})=(a,1,0),$$

o que torna válida a igualdade para $k=0$ (ou seja, $r_{0}=au_{0}+bv_{0}$) e

$$(r_{1},u_{1},v_{1})=(b,0,1),$$

o que torna válida a igualdade para $k=1$ (ou seja, $r_{1}=au_{1}+bv_{1}$)

Um exemplo

Para encontrar o MDC(120,23) usando o Algoritmo de Euclides, vamos efetuando divisões da seguinte forma:

(1)    120/23 = 5 resta 5
(2)    23/5 = 4 resta 3
(3)    5/3 = 1 resta 2
(4)    3/2 = 1 resta 1
(5)    2/1 = 2 resta 0 

MDC(120,23) = 1

Levando-se em conta apenas os restos encontrados, pode-se dizer que:

(1)     5 = 1*120 - 5*23
(2)     3 = 1*23 - 4*5   Substituindo o 5 temos
        3 = 1*23 - 4*(1*120 - 5*23)
        3 = -4*120 + 21*23
(3)     2 = 1*5 - 1*3    Substituindo o valor de 5 e 3 temos
        2 = 1(1*120 - 5*23) - 1(-4*120 + 21*23)
        2 = 5*120 - 26*23
(4)     1 = 1*3 - 1*2   Novamente substituindo 3 e 2
        1 = 1(-4*120 + 21*23) - 1(5*120 - 26*23)
        1 = -9*120 + 47*23

portanto, x = -9 e y = 47 e temos:

MDC(120,23) = $120*(-9)+47*23$

O algoritmo

Uma implementação do algoritmo em JavaScript:

/*********************************************
*  Recebe dois inteiros não negativos a e b
* e devolve um vetor cuja primeira posição
* é o mdc(a,b), a segunda posição é o valor u
* e a terceira o valor v tais que
*   a*u + b*v = mdc(a,b)
**********************************************/
function euclides (a, b){
	var r = a;
	var r1 = b;
	var u = 1;
	var v = 0;
	var u1 = 0;
	var v1 = 1;
        // variáveis auxiliares para efetuar trocas
	var rs, us, vs, q;

	while (r1 != 0){
		q = parseInt (r / r1); // pega apenas a parte inteira
		rs = r;
		us = u;
		vs = v;
		r = r1;
		u = u1;
		v = v1;
		r1 = rs - q *r1;
		u1 = us - q*u;
		v1 = vs - q*v1;
	}

	return [r, u, v]; // tais que a*u + b*v = r et r = pgcd (a, b)
}

Referências

• Coutinho, Severino Collier (2005). Números inteiros e criptografia RSA. Rio de Janeiro: IMPA. 226 páginas. ISBN 8524401249 
• Knuth, D. E. The art of computer programming. Seminumerical algorithms (em inglês). 2 3 ed. [S.l.]: Addilson-Wesley Publishing Company. ISBN 9780201896848