Alternativa de Tits
Em matemática, a Alternativa de Tits, nome devido a Jacques Tits, é um importante teorema sobre a estrutura de grupos lineares finitamente gerados.
Enunciado
editarO teorema, provado por Tits,[1] pode ser enunciado como a seguir
- Seja um grupo linear finitamente gerado sobre um corpo. Então uma das sequintes possibilidades acontecem:
- Ou é virtualmente solúvel (i.e. possui um subgrupo solúvel de índice finito)
- ou contém um grupo livre não-abeliano (i.e. um subgrupo isomórfico ao grupo livre em dois geradores).
Consequências
editarUm grupo linear não é ameno se e somente se este contém um grupo livre não-abeliano (sendo assim, a Conjectura de von Neumann, apesar de não ser verdadeira em geral, vale para grupos lineares).
A Alternativa de Tits é um ingrediente importante[2] na prova do Teorema de Gromov para grupos de crescimento polinomial. Com efeito, a Alternativa essencialmente estabelece o teorema de Gromov para grupos lineares (esta reduz o problema para o caso de grupos solúveis, que podem ser lidados por meios elementares).
Generalizações
editarEm teoria geométrica de grupos, dizemos que um grupo G satisfaz a alternativa de Tits se, para todo subgrupo H de G, ou H é virtualmente solúvel ou H contém um subgrupo livre não-abeliano (em algumas versões desta definição, esta condição só é requerida ser satisfeita para subgrupos finitamente gerados de G).
Exemplos de grupos que satisfazem à alternativa de Tits e são não-lineares, ou não conhecidos por serem lineares ou não, são:
- Grupos hiperbólicos;
- "Mapping class groups" (em português, grupo de classes de mapeamentos);[3][4]
- O grupo de automorfismos externos do grupo livre em n geradores;[5]
- Certos grupos de transformações birracionais de superfícies algébricas.[6]
Exemplos de grupos que não satisfazem a Alternativa de Tits são:
Demonstração
editarA demonstração original da Alternativa de Tits[1] envolve considerar o fecho de Zariski de em . Se esta é solúvel, então é solúvel. Caso contrário, considera-se a imagem de na componente de Levi. Se esta é não-compacta, então um argumento de ping-pong finaliza a prova. Se esta é compacta, então ou todos os autovalores de elementos na imagem de são raízes da unidade e portanto a imagem é finita, ou é possível achar um mergulho de no qual é possível aplicar a estratégia do ping-pong.
Note que a prova de todas as generalizações mencionadas acima também dependem em argumentos de ping-pong.
Notas
editar- ↑ a b Tits, J. (1972). «Free subgroups in linear groups». Journal of Algebra. 20 (2): 250–270. doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0
- ↑ Tits, Jacques (1981). «Groupes à croissance polynomiale». Séminaire Bourbaki (em francês). 1980/1981
- ↑ Ivanov, Nikolai (1984). «Algebraic properties of the Teichmüller modular group». Dokl. Akad. Nauk SSSR. 275: 786–789
- ↑ McCarthy, John (1985). «A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups». Trans. Amer. Math. Soc. 291: 583–612. doi:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8
- ↑ Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael (2000). «The Tits alternative for Out(Fn) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms». Annals of Mathematics. 151 (2): 517–623. JSTOR 121043. arXiv:math/9712217
. doi:10.2307/121043
- ↑ Cantat, Serge (2011). «Sur les groupes de transformations birationnelles des surfaces». Ann. Math. (em francês). 174: 299–340. doi:10.4007/annals.2011.174.1.8
