Análise harmónica

A análise harmónica ^{(português europeu)} ou harmônica ^{(português brasileiro)} é o ramo da matemática que estuda a representação de funções ou sinais como a sobreposição de ondas base. Ela investiga e generaliza as noções das séries de Fourier e da transformação de Fourier. As ondas básicas são chamadas de harmónicas, e este ramo da matemática logo passou a ser conhecido pelo nome de "análise harmónica". Nos dois séculos passados (XIX e XX), tornou-se um tema vasto, com aplicações em áreas tão diversas como o processamento de sinais, mecânica quântica, e ciência neuronal.

Determinação dos coeficientes de uma série trigonométrica

Suponhamos que a função f(x) de uma variável real independente x, definida no intervalo (-π, +π), possa ser representada por uma série trigonométrica, “uniformemente convergente” em todos os seus pontos de definição, isto é:

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\operatorname {sen}(nx))$ (1)

As funções uniformes no intervalo (-π,+π) ou (0,2π), contínuas ou com número finito de descontinuidades finitas e que não tenham número infinito de máximos e mínimos no intervalo considerado podem ser desenvolvíveis em séries deste tipo. As funções encontradas em problemas práticos geralmente satisfazem estas condições. (Se x0 é um ponto de descontinuidade finita da função, a série dá para este ponto o valor médio.)

O cálculo do coeficiente an, do termo geral em cosseno, é obtido multiplicando-se ambos os membros de (1) por cos nx dx e integrando-se entre os limites –π e +π. Assim:

$\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx={\frac {a_{0}}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)dx+a_{n}\int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}(nx)dx+b_{n}\int _{-\pi }^{\pi }\operatorname {sen}(nx)\cos(nx)dx$

$=0+a_{n}\pi +0$

$=a_{n}\pi$

Logo:

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx$

Observação:

• se m≠n
  $\operatorname {sen}(mx)\cos(nx)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {sen}((m+n)x)+\operatorname {sen}((m-n)x)\right]$
  e, portanto, a integral indefinida será:
  $-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\cos(x(m+n))}{m+n}}+{\frac {\cos(x(m-n))}{m-n}}\right]$
  o que permite constatar que a integral definida (-π,+π) é nula.

• se m=n
  $\operatorname {sen}(nx)\cos(nx)={\frac {1}{2}}\operatorname {sen}(2nx)$
  e a integral indefinida será
  $-(1/2)(\cos 2nx)/2n$
  que é nula no intervalo (-π,+π).

Analogamente, multiplicando-se ambos os membros de (1) por $\operatorname {sen}(nx)dx$ e integrando-se, obtemos:

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\operatorname {sen}(nx)dx$

Numericamente estes termos podem ser calculados assim:

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\delta x\sum _{n=1}^{\infty }(f(x)\cos nx)$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\delta x\sum _{n=1}^{\infty }(f(x)\sin nx)$

onde:

Δx = 2π/N (os intervalos Δx são iguais portanto, e em radianos)

(1/π)Δx = Δx/π = (2π/N)/π = 2/N

N = Número de intervalos correspondentes a um comprimento de onda.

Portanto:

$a_{n}={\frac {2}{N}}\sum _{n=1}^{\infty }{f(x)\cos(nx)}\qquad n=1,2,3...$

$b_{n}={\frac {2}{N}}\sum _{n=1}^{\infty }{f(x)\sin(nx)}\qquad n=1,2,3,...$

Observação: Os valores de xn são convertidos para radianos:

xn = 2π.(fração de λ correspondente a xn)

isto é:

xn = 2π.( xn' - x0' )/( xm' - x0' )

onde x0 é o valor da variável independente, em qualquer unidade, em que inicia se um comprimento de onda e xm' aquele em que termina o comprimento de onda considerado.

De forma análoga se calcula os coeficientes bn, sendo que b0 = 0 pois sen 0 = 0.

Se a função é simétrica em relação ao eixo x, dizemos que f e impar e não tem coeficientes de ordem par.

Ligações externas

• Harmônicos em Sistemas de Potência
• Aplicação da Análise Harmônica para previsão na cultura do café
• Harmonux, programa de código aberto em pascal

Bibliografia

• Matemática para a Engenharia, Homero Pinto Caputo, Ao Livro Técnico S.A., 1969