Cálculo variacional

O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero.

Talvez o exemplo mais simples seja o de encontrar a curva com o menor comprimento possível ligando dois pontos. Se não houver restrições, a solução é (obviamente) uma linha reta ligando estes pontos. No entanto, se as possibilidades para esta curva estiverem restritas a uma determinada superfície no espaço, então a solução é menos óbvia e, possivelmente, muitas soluções podem existir. Tais soluções são conhecidas como geodésicas. Um problema relacionado a este é representado pelo princípio de Fermat: a luz segue o caminho de menor comprimento óptico ligando dois pontos, onde o comprimento óptico depende do material de que é composto o meio. Um conceito correspondente em mecânica é o princípio da mínima ação.

Formulação geral

Um dos problemas típicos em cálculo diferencial é o de encontrar o valor de $x$ para o qual uma dada função $f(x)$ alcança um valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variações, o problema em questão é encontrar uma função $f(x)$ para a qual um funcional $I[f]$ atinge um valor extremo. O funcional $I[f]$ é composto por uma integral que depende de $x$, da função $f(x)$ e algumas de suas derivadas.

$I[f]=\int _{a}^{b}-h(x,f(x),f'(x),...)\,dx$

Onde a função $f(x)$ pertence a algum espaço de funções (espaço de Banach, espaço de Hilbert), e tanto ela como suas derivadas podem ter restrições.

Esta fórmula integral pode ser mais complicada permitindo a $x$ ser um vetor, e portanto incluindo derivadas parciais para $f$.

Em casos mais simples, a resolução do problema pode ser reduzida a resolução da Equação de Euler na forma:

${\frac {\partial h}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial h}{\partial f'}}\right)=0$

Problemas históricos

Problema Isoperimétrico

Qual é a área máxima que pode cercar-se com uma curva de comprimento especificado?

Exemplo: Sejam dois pontos $A=(a,0),B=(b,0)$ sobre o eixo x, sendo a distância entre eles estabelecida. Ou seja, $AB=l$. O problema de haver uma curva que maximize a área entre ela e o eixo x seria:

Haverá uma função $f(x)$ de modo que,

$I[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx=$ max

com as restrições

$G[f]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=l$ (comprimento de arco)

$f(a)=f(b)=0$

Braquistócrona

O problema da curva braquistócrona remonta a Johann Bernoulli (1696). Se refere a encontrar uma curva no plano cartesiano que vá do ponto $P=(x_{0},y_{0})$ a origem de modo que um ponto material que desliza sem fricção sobre ela tarda o menor tempo possível em ir de $P$ a origem. Usando princípios de mecânica clássica o problema pode formular-se como,

$T[f]=\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx=$ min

onde g é a gravidade e as restrições são, $f(0)=0$, $f(x_{0})=y_{0}$. Há de se notar que em $x=x_{0}$ existe uma singularidade.

Ver também

• Equação de Euler-Lagrange.
• Princípio de Hamilton
• Lagrangiana
• Hamiltoniano
• Catenóide
• Braquistócrona
• Geodésica