Círculo de Fuhrmann

Em geometria, o círculo de Fuhrmann de um triângulo, denominado em memória do matemático alemão Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), é o círculo com um diâmetro do segmento de reta entre o ortocentro $H$ e o ponto de Nagel $N$ . Este círculo é idêntico ao circuncírculo do triângulo de Fuhrmann.^[1]

O raio de círculo de Fuhrmann de um triângulo com lados a, b e c e circunraio R (raio da circunferência circunscrita) é

R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}},

que é também a distância entre o circuncentro e o incentro.^[2]

Além do ortocentro, o círculo de Fuhrmann cruza cada altitude do triângulo em um ponto adicional. Todos esses pontos têm distância $2r$ de seus vértices associados do triângulo. Aqui $r$ denota o raio dos triângulos inscritos.^[3]

Referências

↑ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
↑ Weisstein, Eric W. «Fuhrmann Circle». MathWorld (em inglês)
↑ Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 49-52

Leitura adicional

Nguyen Thanh Dung: "The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle". Forum Geometricorum, Volume 16 (2016), pp. 299–311.
J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 (JSTOR)

Ligações externas

Fuhrmann circle

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[1] Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).

[2] Weisstein, Eric W. «Fuhrmann Circle». MathWorld (em inglês)

[3] Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 49-52

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