Cofinalidade

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em teoria dos conjuntos, a cofinalidade de um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), cf(A), é o menor dos cardinais dos conjuntos parcialmente ordenados cofinais com (A, ≤) . Dado um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), diz-se que um subconjunto B de A, B⊆A, é cofinal com A (com a ordem anterior restrita a B) se para cada a∈A existe um b∈B tal que a≤b. O conceito de cofinalidade foi introduzido por Felix Hausdorff em 1908.

Cofinalidade de ordinais

Seja $\alpha >0$ um ordinal limite. Uma sequência crescente $\left\langle \alpha _{\xi }:\xi <\beta \right\rangle$, com $\beta$ ordinal limite é dita cofinal com $\alpha$ se ${\mbox{lim}}_{\xi \rightarrow \beta }\;\;\alpha _{\xi }=\alpha$.

De maneira similar, a cofinalidade pode ser definida para um ordinal limite $\alpha >0$ como um ordinal limite $\beta$:

${\mathit {cf}}\left(\alpha \right)={\mbox{o menor ordinal limite }}\beta {\mbox{ tal que existe uma }}\beta {\mbox{-sequência }}\left\langle \alpha _{\xi }:\xi <\beta \right\rangle {\mbox{ com lim}}_{\xi \rightarrow \beta }\;\;\alpha _{\xi }=\alpha$.

Exemplos

O conjunto dos números naturais, $\mathbb {N}$ é cofinal com o conjunto dos números reais, $\mathbb {R}$, com a ordem usual desses conjuntos, pois para cada número real $x\in \mathbb {R}$, existe um número natural $n\in \mathbb {N}$, tal que $x\leq n$. Da mesma maneira, o conjunto dos números racionais, $\mathbb {Q}$, também é cofinal com $\mathbb {R}$ e todos esses conjuntos tem cofinalidade $\omega$.

O ordinal $\omega +\omega$ tem cofinalidade $\omega$, cf($\omega +\omega$)=$\omega$, pois segundo a definição geral, $\omega$ é cofinal com $\omega +\omega$ e $\aleph _{0}=\omega$. Considerando a cofinalidade de ordinais, existe a $\omega {\mbox{-sequência}}$

$\left\langle \omega +n:n<\omega \right\rangle {\mbox{ com lim}}_{n\rightarrow \omega }\;\;(\omega +n)=\omega +\omega$

De maneira análoga, ${\mbox{cf}}\left(\aleph _{\omega }\right)=\omega$, pois

${\mbox{lim}}_{n\rightarrow \omega }\;\;(\aleph _{n})=\aleph _{\omega }$

Propriedades

A cofinalidade tem as seguintes propriedades:

${\mbox{cf}}({\mbox{cf}}(\alpha ))_{\;}\!\!={\mbox{cf}}(\alpha )$

${\mbox{cf}}(\alpha )_{\;}\!\!{\mbox{ é um}}$ ${\mbox{cardinal regular}}_{\;}\!\!$${\mbox{, para todo ordinal limite }}\alpha _{\;}\!\!$

${\mbox{Se }}\kappa _{\;}\!\!{\mbox{ é um cardinal infinito, então }}\kappa <\kappa ^{{\mbox{cf}}(\kappa )_{\;}}$

Deste último obtemos:

${\mbox{cf}}\left(2^{\omega }\right)>\omega$

Bibliografia

• HAUSDORFF, F. (1908). «Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen». Mathematische Annalen (em alemão). 65 (4): 435−505 

• JECH, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2 

• KUNEN, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9