Complexo de cadeias

Em topologia algébrica e em álgebra homológica, um complexo de cadeias é uma sequência de grupos abelianos e homomorfismos. Um complexo de cocadeias é semelhante a um complexo de cadeias, exceto que seus homomorfismos seguem uma convenção diferente. A homologia de um complexo de cocadeias é chamada de cohomologia.

Definições

Um complexo de cadeia é uma sequência de grupos abelianos ou módulos ..., A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, ... conectados por homomorfismos (chamados de operadores de fronteira ou diferenciais) d_n : A_n → A_n−1, de forma que a composição de quaisquer dois mapas consecutivos seja o mapa zero. Explicitamente, os diferenciais satisfazem d_n ∘ d_n+1 = 0, ou com índices suprimidos, d² = 0. O complexo pode ser escrito da seguinte forma.

$\cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {d_{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {d_{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {d_{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {d_{2}}}A_{1}{\xrightarrow {d_{1}}}A_{0}{\xrightarrow {d_{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {d_{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {d_{-2}}}\cdots$

tais que $d_{n}\circ d_{n+1}=0$.

Os complexos de cadeias fazem parte da definição dos grupos de homologia.