Composto de cinco tetraedros
| Composto de cinco tetraedros | |
|---|---|
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| Tipo | Composto regular [en] |
| símbolo de Coxeter | {5,3}[5{3,3}] {3,5}[1] |
| Índice | UC5, W24 [en] |
| Elementos (como um composto) |
5 tetraedros: F = 20, E = 30, V = 20 |
| Composto dual | Autodual |
| Grupo de simetria | icosaédrico [en] quiral (I) |
| Subgrupo restrito a um constituinte | tetraédrico [en] quiral (T) |
O composto de cinco tetraedros é um dos cinco compostos poliédricos regulares. Este poliedro composto também é uma estrela do icosaedro regular. Foi descrito pela primeira vez por Edmund Hess em 1876.
Ele pode ser visto como uma faceta de um dodecaedro regular [en].
Como um composto
editarEle pode ser construído organizando cinco tetraedros em simetria icosaédrica rotacional [en] (I), conforme colorido no modelo superior direito. É um dos cinco compostos regulares [en] que podem ser construídos a partir de sólidos platônicos idênticos.
Ele compartilha o mesmo arranjo de vértices [en] de um dodecaedro regular [en].
Existem duas formas enantiomorfas (a mesma figura, mas com quiralidade oposta) deste poliedro composto. Ambas as formas juntas criam o composto simétrico de reflexão de dez tetraedros.
Ele tem uma densidade [en] maior que 1.
 Como um mosaico esférico [en] |
 Modelos transparentes (Animação) |
 Cinco tetraedros interligados |
Como uma estrela
editarEle também pode ser obtido estrelando o icosaedro e é dado como 24 no índice dos modelos de Wenninger [en].
| Diagrama de estrelação [en] | Núcleo de estrelamento | Casco convexo |
|---|---|---|
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 Icosaedro [en] |
 Dodecaedro |
Como uma faceta
editarEle é uma faceta [en] de um dodecaedro, como mostrado à esquerda.
Teoria de grupo
editarO composto de cinco tetraedros é uma ilustração geométrica da noção de órbitas e estabilizadores, como segue.
O grupo de simetria do composto é o grupo icosaédrico [en] (rotacional) I de ordem 60, enquanto o estabilizador de um único tetraedro escolhido é o grupo tetraédrico [en] (rotacional) T de ordem 12, e o espaço orbital I/T (de ordem 60/12 = 5) é naturalmente identificado com os 5 tetraedros – o coconjunto gT corresponde ao qual o tetraedro g remete o tetraedro escolhido.
Uma propriedade dual incomum
editar
Este composto é incomum, pois a figura dual é o enantiomorfo do original. Se as faces forem torcidas para a direita, os vértices serão torcidos para a esquerda. Quando dualizamos, as faces se dualizam em vértices torcidos à direita e os vértices se dualizam em faces torcidas à esquerda, dando o gêmeo quiral. Figuras com esta propriedade são extremamente raras.
Ver também
editar- Composto de cinco cubos [en]
- Composto de dez tetraedros
Referências
- ↑ Regular polytopes (em inglês), p.98
- Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron models [Modelos de poliedros] (em inglês). [S.l.]: Cambridge university press. ISBN 0-521-09859-9
- H.S.M. Coxeter, Regular polytopes – Politopos regulares [en] (em inglês), (3ª edição, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 The five regular compounds – Os cinco compostos regulares, pp. 47 - 50, 6.2 Stellating the Platonic solids – Estrelando os sólidos platônicos, pp. 96-104
- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (1999). The fifty-nine icosahedra [en] [Os cinquenta e nove icosaedros] (em inglês) 3ª ed. [S.l.]: Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 676126 (1ª edição – Universidade de Toronto, 1938)
Ligações externas
editar- Weisstein, Eric W. «Composto de cinco tetraedros». MathWorld (em inglês)
- Escultura de metal do composto de cinco tetraedros (em inglês)
- Modelo em L.M.R.V.
- Compostos de 5 e 10 tetraedros (em inglês) por Sándor Kabai, The Wolfram demonstrations project.
- Klitzing, Richard. «3D compound» [Composto 3D] (em inglês)