Usando a definição de números ordinais sugerida por John von Neumann , números ordinais são definidos como conjuntos transitivos hereditários: um número ordinal é um conjunto transitivo cujos membros também são transitivos (e, portanto, ordinais).
Qualquer dos estágios V α e L α, universo de von Neumann V e do Universo construtível de Gödel L, são conjuntos transitivos. Os próprios universos L e V são classes transitivas.
This is a complete list of all finite transitive sets with up to 20 brackets:[ 1]
{
}
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{\displaystyle \{\},}
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{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
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}
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{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}
Um conjunto X é transitivo se, e somente se,
⋃
X
⊆
X
{\displaystyle {\displaystyle \bigcup X\subseteq X}}
⋃
X
{\displaystyle {\displaystyle \bigcup X}}
união de todos os elementos de X que são conjuntos,
⋃
X
=
{
y
∣
(
∃
x
∈
X
)
y
∈
x
}
{\displaystyle \bigcup X=\{y\mid (\exists x\in X)y\in x\}}
X é transitivo, então
⋃
X
{\displaystyle \bigcup X}
X e Y são transitivos, então X ∪Y ∪{X ,Y } é transitivo. Em geral, se X é uma classe cujos elementos são conjuntos transitivos, segue que
X
∪
⋃
X
{\displaystyle X\cup \bigcup X}
Um conjunto X que não contém urelementos é transitivo se e somente se for um subconjunto de seu conjunto das partes , O conjunto das partes de um conjunto transitivo sem urelementos é transitório.
O fecho transitivo de um conjunto X é o menor (com respeito à inclusão) conjunto transitivo que contém X . Suponha que é dado um conjunto X , então o fecho transitivo de X é
⋃
{
X
,
⋃
X
,
⋃
⋃
X
,
⋃
⋃
⋃
X
,
⋃
⋃
⋃
⋃
X
,
…
}
.
{\displaystyle \bigcup \{X,\bigcup X,\bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \}.}
Note que este é o conjunto de todos os objetos relacionados com X pelo fecho transitivo da relação de pertinência.
Modelo transitivo da teoria dos conjuntos
editar
Classes transitivas são frequentemente utilizadas para a construção de interpretações da teoria dos conjuntos em si, normalmente chamados de modelos interiores. A razão é que as propriedades definidas pelas fórmulas delimitada são absolutas para classes transitivas
Um conjunto transitivo (ou classe) que é um modelo de um sistema formal da teoria dos conjuntos é chamado um modelo transitivo do sistema. A transitividade é um importante fator na determinação da absolutividade de fórmulas.
Na abordagem da superestrutura à análise não-padrão, os universos não-padrão satisfazem a transitividade forte.
Ciesielski, Krzysztof (1997), Set theory for the working mathematician , ISBN 0-521-59441-3 , London Mathematical Society Student Texts, 39 , Cambridge: Cambridge University Press Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis , ISBN 0-387-98464-X , Graduate Texts in Mathematics , 188 , New York, NY: Springer-Verlag Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973], The Axiom of Choice , ISBN 0-486-46624-8 , Dover Publications 
