A constante de Catalan , normalmente expressa pela letra
G
{\displaystyle G}
série
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
2
=
1
−
1
3
2
+
1
5
2
−
1
7
2
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots }
ou seja, o valor da função beta de Dirichlet
β
(
2
)
{\displaystyle \beta (2)}
Eugène Charles Catalan (1814–1894). Sua irracionalidade é aceita, porém ainda não demonstrada.
Catalan denominou esta constante como G em seu trabalho de 1883, acompanhado este por diversas representações integrais e em série. A denominação G provem possivelmente do engenheiro Jacques Bresse .
Um valor aproximado é
G
=
0
,
91596559417721901505...
{\displaystyle G=0,91596559417721901505...}
Atualmente (16 de abril de 2009) são conhecidos 31.026.000.000 dígitos[ 1]
Dentre as inúmeras representações, algumas são apresentadas a seguir.
G
=
−
∫
0
1
ln
t
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle G=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}
G
=
∫
0
1
arctan
t
t
d
t
{\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,{\rm {d}}t}
G
=
∫
0
1
∫
0
1
1
1
+
x
2
y
2
d
x
d
y
{\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}
De acordo com Ramanujan :
G
=
π
8
ln
(
2
+
3
)
+
3
8
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
2
(
2
n
n
)
{\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln(2+{\sqrt {3}})+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}}
Também converge rapidamente a soma:
G
=
1
64
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
⋅
2
8
n
⋅
(
40
n
2
−
24
n
+
3
)
⋅
(
2
n
)
!
3
⋅
n
!
2
n
3
⋅
(
2
n
−
1
)
⋅
(
4
n
)
!
2
{\displaystyle G={\tfrac {1}{64}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^{2}-24n+3)\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{2}}{n^{3}\cdot (2n-1)\cdot (4n)!^{2}}}}
Tentou-se encontrar séries do tipo BBP . Uma série de 9 termos foi apresentada por Victor Adamchik em 2007:
G
=
3
64
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
64
n
(
32
(
12
n
+
1
)
2
−
32
(
12
n
+
2
)
2
−
32
(
12
n
+
3
)
2
−
8
(
12
n
+
5
)
2
−
16
(
12
n
+
6
)
2
−
4
(
12
n
+
7
)
2
−
4
(
12
n
+
9
)
2
−
2
(
12
n
+
10
)
2
+
1
(
12
n
+
11
)
2
)
{\displaystyle G={\tfrac {3}{64}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{64^{n}}}\left({\tfrac {32}{(12n+1)^{2}}}-{\tfrac {32}{(12n+2)^{2}}}-{\tfrac {32}{(12n+3)^{2}}}-{\tfrac {8}{(12n+5)^{2}}}-{\tfrac {16}{(12n+6)^{2}}}-{\tfrac {4}{(12n+7)^{2}}}-{\tfrac {4}{(12n+9)^{2}}}-{\tfrac {2}{(12n+10)^{2}}}+{\tfrac {1}{(12n+11)^{2}}}\right)}
