Limite

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Em matemática, a noção de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito $(+\infty )$. Os limites são usados no cálculo diferencial e integral e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas, continuidade de funções, soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.

Limite de uma sequência

Ver artigo principal: Limite de uma sequência

Seja $x_{1},x_{2},\ldots$ uma sequência de números reais. A expressão: $$\lim x_{i}=L$$ significa que, para índices ${\textstyle i}$ suficientemente grandes, os termos ${\textstyle x_{i}}$ da sequência estão arbitrariamente próximos do valor ${\textstyle L.}$ Neste caso, dizemos que o limite da sequência é ${\textstyle L.}$

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de ${\textstyle L}$ os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice ${\textstyle i}$, os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de ${\textstyle L}$ quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de ${\textstyle L}$ (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto ${\textstyle (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$ com ${\textstyle \epsilon >0}$, o desafiado deve exibir um número natural $N$ tal que ${\textstyle \forall i}$ com ${\textstyle i>N}$ tem-se que ${\textstyle x_{i}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$.

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim: $$\forall \epsilon >0,~\exists N\in \mathbb {N} ;\forall i\in \mathbb {N} \land ~i\geq N\Rightarrow |x_{i}-L|<\epsilon$$

Limite de uma função

Ver artigo principal: Limite de uma função

Suponhamos que ${\textstyle f(x)}$ é uma função real e que ${\textstyle c}$ é um número real. A expressão: $$\lim _{x\to c}f(x)=L$$ significa que ${\textstyle f(x)}$ se aproxima tanto de ${\textstyle L}$ quanto quisermos, quando se toma ${\textstyle x}$ suficientemente próximo de ${\textstyle c}$. Quando tal acontece dizemos que o limite de ${\textstyle f(x)}$, à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle c}$, é ${\textstyle L}$.

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que ${\textstyle f(c)=L}$, nem sequer que ${\textstyle f(x)}$ esteja definida em ${\textstyle c}$. Agora, no caso de ${\textstyle f(c)}$ existir (estar definido) e $$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$$ diz-se que ${\textstyle f(x)}$ é contínua no ponto ${\textstyle c}$.

Exemplos

Consideremos $$f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$$ à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle 2}$, i.e busquemos calcular $$\lim _{x\to 2}f(x)=\lim _{x\to 2}{\frac {x}{x^{2}+1}}$$ Neste caso, ${\textstyle f(x)}$ está definida em ${\textstyle 2}$ e é igual ao seu limite: ${\textstyle 0,\!4,}$ vejamos:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	$\rightarrow$ 0,4 $\leftarrow$	0,3998	0,3988	0,3882

À medida que ${\textstyle x}$ aproxima-se de ${\textstyle 2}$, ${\textstyle f(x)}$ aproxima-se de ${\textstyle 0,\!4}$ e consequentemente temos $$\lim _{x\to 2}f(x)=0,\!4$$ Ou seja, ${\textstyle f(x)}$ é contínua no ponto ${\textstyle 2}$.

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua): $$g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{se }}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{se }}x=2.\end{matrix}}\right.$$ O limite de ${\textstyle g(x)}$ à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle 2}$ é ${\textstyle 0,\!4}$ (tal como no exemplo acima), mas $$g(2)=0\neq \lim _{x\to 2}g(x)$$ e consequentemente ${\textstyle g(x)}$ não é contínua em ${\textstyle x=2}$.

Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua: $$h(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}$$ Apesar de ${\textstyle h(x)}$ não estar definida em ${\textstyle x=1}$, pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que $$\lim _{x\to 1}h(x)=2$$

h(0,9)	h(0,99)	h(0,999)	h(1.0)	h(1,001)	h(1,01)	h(1,1)
1,95	1,99	1,999	$\rightarrow$ não está definido $\leftarrow$	2,001	2,010	2,10

Observa-se que ${\textstyle x}$ pode ser tomado tão próximo de ${\textstyle 1}$ quanto quisermos, sem no entanto ser igual a ${\textstyle 1}$, donde infere-se que o limite de ${\textstyle f(x)}$ é ${\textstyle 2}$.

Definição formal

A definição ε-δ de limite.

Sejam $I\subset \mathbb {R}$ um intervalo de números reais, $a\in I$ e $f:I-\{a\}\to \mathbb {R}$ uma função real definida em $I-\{a\}.$ Escrevemos $$A=\lim _{x\to a}f(x)$$ quando para qualquer que seja $\varepsilon >0$ existe um $\delta >0$ tal que para todo $x\in I,$ satisfazendo $0<|x-a|<\delta ,$ vale $|f(x)-A|<\varepsilon$. Ou, usando a notação simbólica:

$$A=\lim _{x\to a}f(x)\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in I;0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$$

Exemplos de provas de limites

Exemplo 1

$\lim _{x\rightarrow 2}(3x+1)=7$ Supondo um $\epsilon >0$

$|(3x+1)-7|<\epsilon$

$|3x-6|<\epsilon$

Dividindo por 3 em ambos os lados:

$|x-2|<{\frac {\epsilon }{3}}$

O que prova o limite com $\delta ={\frac {\epsilon }{3}}>0$

Exemplo 2

$\lim _{x\rightarrow 1}(1+x)=2$

Supondo um $\epsilon >0$

$|1+x-2|<\epsilon$

$|x-1|<\epsilon$

E isso completa a prova com $\delta =\epsilon >0$

Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. A noção de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x₀ arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: $f(x)=2x+1$ e imaginando $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: $f(0)=2.0+1$ que nos dá: $f(0)=0+1=1,$ ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

• Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
• Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
• Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
• Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

---

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: $f(x)=2x+1$ nos reais, calcular o limite da função $f$ quando $x\to 1.$ Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função $f(x)$ descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por $|x-a|,$ não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:

Seja $f$ uma função do tipo:

$$D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$$$$x\longmapsto f(x)=z$$

Em que $x$ é um vector com $n$ coordenadas e $z$ um número real. Se $a$ for um vector com $n$ coordenadas, então:

$$\lim _{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left(x\in D\;\wedge 0<d(x,a)<\delta \right)\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

Em que $d(x,a)=\|x-a\|$ é a função distância.

Exemplo

Uma função do tipo:

$$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$$$(x,y)\longmapsto f(x,y)=z$$

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

$$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$$$(x,y)\longmapsto f(x,y)=xy$$

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L$$

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

• o limite através do eixo dos $yy,$ ou seja,

$$\lim _{x\to 0}f(x,0)=L$$

Nesse caso o limite L é zero.

• o limite através do eixo dos $xx,$ ou seja,

$$\lim _{y\to 0}f(0,y)=L$$

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}xy=0$$

Ou seja, provar que

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<\|(x,y)-(0,0)\|<\delta \right)\Longrightarrow |xy-0|<\epsilon$$$$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \right)\Longrightarrow |xy|<\epsilon$$

Vamos procurar escrever $\delta$ em função de $\epsilon .$

$${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}$$$$|xy|\leq \max\{|x|,|y|\}^{2}\leq x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}$$

Se escolhermos $\delta ={\sqrt {\epsilon }},$ então, pela segunda desigualdade, $|xy|<\delta ^{2}=\epsilon ,$ o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

$$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$$$(x,y)\longmapsto f(x,y)={xy \over (x^{2}+y^{2})}$$

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

$$x=\left(\cos \alpha \right)t$$

$$y=\left(\mathrm {sen} \,\alpha \right)t$$

a função toma a forma

$$f(x,y)={\cos(\alpha )\mathrm {sen} \,(\alpha ) \over (\cos \alpha )^{2}+(\mathrm {sen} \,\alpha )^{2}}={\mathrm {sen} \,(2\alpha ) \over 2}$$

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

Ver também

• Limite de uma função
• Lista de limites
• Função contínua