Crescimento demográfico (equação diferencial)

A taxa de aumento de uma população é a soma das taxas de natalidade ($n$) e migração ($g$), menos a taxa de mortalidade ($m$)

$a=n+g-m$

O aumento da população num instante dado é igual ao produto da população nesse instante vezes a taxa de aumento da população; se a população no instante $t$ for representada pela função $P(t)$, o aumento da população será também igual à derivada de $P$

${dP \over dt}=aP$

Para poder resolver esta equação é preciso conhecer a dependência de $a$ com o tempo. Veremos dois casos simples

Modelo de Malthus

Se a taxa de aumento da população ($a$) for constante a equação diferencial anterior será uma equação de variáveis separáveis

${\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P}}=\int adt+C\\&P=P_{0}e^{at}\end{aligned}}$

Onde $P_{0}$ é a população em $t=0$. Este modelo pode ser uma boa aproximação em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a população cresce sem limite.

Modelo logístico

Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta diretamente proporcional à população, com taxas de natalidade e migração constantes. A taxa de aumento da população é assim

$b-kP$

com $b$ e $k$ constantes. A equação diferencial obtida é uma equação de Bernoulli

${dP \over dt}=bP-kP^{2}$

Neste modelo a população não cresce indiscriminadamente, pois a medida que $P$ aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse momento $P$ permanece constante. Por meio da substituição $u=1/P$ obtém-se uma equação linear

${du \over dt}=-bu+k$

Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo fator integrante $\exp(bt)$

${\begin{aligned}{d \over dx}{\bigg (}ue^{bt}{\bigg )}&=&k\int e^{bt}dt+C\\{\frac {1}{P}}&=&{\frac {k}{b}}+Ce^{-bt}\end{aligned}}$

A população aproxima-se assimptoticamente do valor limite $b/k$.

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear
• Equação diferencial de Bernoulli