Desigualdade de Aristarco

A Desigualdade de Aristarco é uma lei da trigonometria que afirma que se α e β são ângulos agudos (ou seja, entre 0 e um ângulo reto) e "β < α" então

${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.$

Essa lei leva esse nome em homenagem ao matemático grego Aristarco de Samos, que fez tal afirmação.

Ptolomeu usou a primeira dessas desigualdades ao construir sua tabela de acordes.

Prova

A prova matemática dessa lei é consequência das desigualdades mais conhecidas , e $0<\sin(\alpha )<\alpha <\tan(\alpha )$, $0<\sin(\beta )<\sin(\alpha )<1$ and $1>\cos(\beta )>\cos(\alpha )>0$.

Prova da primeira desigualdade

Usando essas desigualdades, podemos primeiro provar que

${\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}.$

Notamos primeiro que a desigualdade é equivalente a ${\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}$ que pode ser reescrito como ${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.$

Agora queremos mostrar isso

${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.$

A segunda desigualdade é simplesmente $\beta <\tan \beta$. O primeiro é verdadeiro porque

${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta ).$

Prova da segunda desigualdade

Agora queremos mostrar a segunda desigualdade, ou seja, que:

${\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.$

Notamos primeiro que, devido às desigualdades iniciais, temos que:

$\beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}$

Consequentemente, usando aquele $0<\alpha -\beta <\alpha$ na equação anterior (substituindo $\beta$ por $\alpha -\beta <\alpha$) obtemos:

${\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta ).$

Concluimos que

${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.$

Ligações externas

• Leibowitz, Gerald M. «Hellenistic Astronomers and the Origins of Trigonometry» (PDF) 
• Prova da primeira desigualdade
• Prova da segunda desigualdade