Desigualdade de Cauchy-Schwarz (números reais)

A desigualdade de Cauchy-Schwarz para números reais é outra forma de escrever a desigualdade conhecida entre vetores. O nome é dado em homenagem aos matemáticos Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz.

Teorema

A desigualdade para o caso de números reais assegura que, dados n reais $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ e n reais ${\textstyle b_{1},b_{2},...,b_{n}}$, se tem

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}$

em que a igualdade ocorre se e somente se os $a_{i}$ e $b_{i}$ forem proporcionais, ou seja

$a_{1}=\lambda b_{1}$, $a_{2}=\lambda b_{2}$,..., $a_{n}=\lambda b_{n}$,

Para algum $\lambda$ pertencente aos reais.

Demonstração

Considere a função

$f(x)=(a_{1}-b_{1}x)^{2}+(a_{2}-b_{2}x)^{2}+...+(a_{n}-b_{n}x)^{2}$

Como $f(x)\geq 0$ $\forall x\in \mathbb {R}$, segue que $\Delta \leq 0$

Abrindo os quadrados e explicitando os coeficientes:

$f(x)=a_{1}^{2}-2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}x^{2}+a_{2}^{2}-2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}x^{2}+...+a_{n}^{2}-2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}x^{2}$

$f(x)=(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n})+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}$

Calculando o discriminante:

$\Delta =4(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}-4(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})$

Da conclusão acima, segue o resultado:

$4(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}-4(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})\leq 0$

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})$.

${\textstyle C.Q.D}$.

Referências

UMA DESIGUALDADE MUITO ÚTIL: A DE CAUCHY–SCHWARTZ por Benedito Tadeu V. Freire e José Maria Gomes - AULA Nº 02 – 2010.

Bibliografia

Antonio Caminha Muniz Neto,(2013), Tópicos de Matemática Elementar Volume 1 Números Reais, 2ª Edição, Editora SBM.