Desigualdade de Schur

Em matemática, a desigualdade de Schur, assim chamada em homenagem a Issai Schur, estabelece que se x, y, z são números reais não negativos, e t é um número positivo,

$x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0$

com a igualdade ocorrendo se e somente se x = y = z ou dois deles são iguais e o outro é zero. Quando t é um número inteiro positivo par, a desigualdade vale para todos os números reais x, y e z.

Extensões

Uma generalização da dsigualdade de Schur é o seguinte: Suponha que a, b, c sejam números reais positivos. Se os triplos (a, b, c) e (x, y, z) são igualmente classificados, a seguinte desigualdade é válida:

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.$

Em 2007, o matemático da Romênia Valentin Vornicu mostrou que existe ainda uma forma generalizada da desigualdade de Schur:

Considere $a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R}$, where $a\geq b\geq c$, and either $x\geq y\geq z$ or $z\geq y\geq x$. Let $k\in \mathbb {Z} ^{+}$, and let $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ seja convexa ou monotônica. Então,

${f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.$

A forma padrão de Schur é o caso desta desigualdade ondex = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r.

Outra extensão possível indica que, se os números reais não negativos $x\geq y\geq z\geq v$com e o número real positivo t são tais que x + v ≥ y + z then

$x^{t}(x-y)(x-z)(x-v)+y^{t}(y-x)(y-z)(y-v)+z^{t}(z-x)(z-y)(z-v)+v^{t}(v-x)(v-y)(v-z)\geq 0.$