Complementar

Em teoria dos conjuntos, o complementar de um subconjunto $A\,$ se refere a elementos que não estão no conjunto $A\,$. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo $U\,$, sendo o conjunto $A^{c}\,$ o complementar de $A\,$ formado pelos elementos de $U\,$ que não pertencem a $A\,$. De maneira mais geral, define-se o complementar de $A\,$ em relação a $B\,$, também chamado de diferença de conjuntos, como o conjunto dos elementos de $B\,$ que não estão em $A\,$.

A área em vermelho é o complementar de A em U, $A^{c}~~~=~~~U\setminus A$.
No exemplo, o conjunto A está representado pela circunferência em branco enquanto que o conjunto universo U é representado por todo o retângulo.

Diferença de conjuntos

Definição

Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , também conhecido como diferença de B e A , é o conjunto de elementos de B que não estão em A.

A diferença de B para A é geralmente denotada $B\setminus A$. Às vezes é escrito $B-A$, mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de b - a, onde b é tomado a partir de B e a a partir de A.

Formalmente:

$B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}.$

Exemplos

• $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}$.

• $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}$.

• Se $\mathbb {R}$ é o conjunto de números reais e $\mathbb {Q}$ é o conjunto dos números racionais, então $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ é o conjunto dos números irracionais.

Propriedades

Sejam A, B e C três conjuntos. As seguintes identidades mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos, que podem ser demonstradas com poucos passos usando a própria definição de diferença de conjuntos, junto com as Leis de De Morgan:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$;

• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)=(C\setminus A)\setminus B=(C\setminus B)\setminus A$;
• $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$;
• $C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)$;
• Com o caso especialmente importante de que $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ demonstrando que a interseção pode ser expressa usando apenas a operação de diferença de conjuntos;
• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$;
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$;
• $A\setminus A=\emptyset$;
• $\emptyset \setminus A=\emptyset$;
• $A\setminus \emptyset =A$.

Em vermelho, a diferença de B (círculo da direita) e A (círculo da esquerda): $B\cap A^{c}=B\setminus A$

Complementar do conjunto

Definição

Se A é um conjunto, então o complementar de A é o conjunto de elementos que não estão em A. Em outras palavras, se U é o universo que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de A é a diferença entre os conjuntos U e A, sendo representado normalmente como:

$A^{\complement }=U\setminus A$.

Formalmente:

$A^{\complement }=\{x\in U\mid x\notin A\}.$

Outras notações incluem $A^{c}$, ${\overline {A}}$, $A'$, $\complement _{U}A$, e $\complement A$.

Exemplos

• Assuma que o universo é o conjunto dos inteiros. Se A é o conjunto dos números ímpares, então o complementar de A é o conjunto de números pares. Se B é o conjunto de múltiplos de 3, então o complementar de B é o conjunto de números congruentes a 1 ou 2 módulo 3.

• Assuma que o universo é um baralho padrão de 52 cartas. Se o conjunto A é o naipe de espadas, então o complementar de A é a união do naipe de copas, paus, e ouros.

Propriedades

Sejam A e B dois conjuntos no universo U. As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares:

Teoremas de De Morgan:

• $\left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$
• $\left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Leis de complementar:

• $A\cup A^{\complement }=U.$
• $A\cap A^{\complement }=\varnothing .$
• $\varnothing ^{\complement }=U.$
• $U^{\complement }=\varnothing .$
• ${\text{Se }}A\subset B{\text{, então }}B^{\complement }\subset A^{\complement }.$

Involução ou lei do duplo complementar:

• $\left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.$

Relações entre o complementar e a diferença de conjuntos:

• $A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
• $(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.$
• $A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

As duas primeiras leis acima mostram que se A é não-vazio, subconjunto próprio de U, então {A, A^c} é uma partição de U.

Notação em LaTeX

Na linguagem de diagramação de textos LaTeX, o comando \setminus é normalmente o utilizado para representar o símbolo de diferença de conjuntos, similar ao comando backslash. Existe também um variante \smallsetminus disponível no pacote amssymb.

Complementar em várias linguagens de programação

Algumas linguagens de programação permitem a manipulação de conjuntos como estruturas de dados, usar estes operadores como função para construir a diferença entre dois conjuntos a e b:

.NET Framework

a.Except(b);

C++

set_difference(a.begin(), a.end(), b.begin(), b.end(), result.begin());

Clojure

(clojure.set/difference a b)

Common Lisp

set-difference, nset-difference

F#

Set.difference a b

or

a - b

Falcon

diff = a - b

Haskell

difference a b

a \\ b

Java

diff = a.clone();

diff.removeAll(b);

Julia

setdiff

Mathematica

Complement

MATLAB

setdiff

OCaml

Set.S.diff

Octave

setdiff

PARI/GP

setminus

Pascal

SetDifference := a - b;

Perl 5

# for perl version >= 5.10
@a = grep {not $_ ~~ @b} @a;

Perl 6

$A ∖ $B
$A (-) $B # texas version

PHP

array_diff($a, $b);

Prolog

a(X),\+ b(X).

Python

diff = a.difference(b)

diff = a - b

R

setdiff

Racket

(set-subtract a b)

Ruby

diff = a - b

Scala

a.diff(b)

or

a -- b

Smalltalk (Pharo)

a difference: b

SQL

SELECT * FROM A
EXCEPT
SELECT * FROM B

Unix shell

comm -23 a b

Ver também

• Conjunto
• Teoria ingênua dos conjuntos
• Diferença simétrica

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Complement». MathWorld (em inglês) 
• Weisstein, Eric W. «Complement Set». MathWorld (em inglês)