Derivada

No cálculo, a derivada em um ponto de uma função $y=f(x)$ representa a taxa de variação instantânea de $y$ em relação a $x$ neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto $x=a$ de $y=f(x)$ representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto $(a,~f(a))$. A função que a cada ponto $x$ associa a derivada neste ponto de $f(x)$ é chamada de função derivada de f(x).

Click para uma maior imagem. Em cada ponto, a derivada de $\scriptstyle f(x)=1+x\sin x^{2}$ é a tangente do ângulo que a reta tangente à curva faz em relação ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.

Notação

Duas distintas notações são comumente utilizadas para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a partir de Joseph Louis Lagrange. 

Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, e a derivada de y em relação a x é escrito ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\!$.

sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais (A expressão acima é lido como "a derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy sobre dx". A forma oral dydx é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar à confusão).

Na notação de Lagrange, a derivada em relação a x de uma função F(x) é denotada f'(x) ou fx'(x), em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. A notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a Newton. 

Definição

Uma animação que dá uma ideia intuitiva da derivada, à medida que o "balanço" de uma função muda quando o argumento muda.

Seja $I$ um intervalo aberto não-vazio e seja $f:I\to \mathbb {R}$, $y=f(x)$, uma função de $I$ em $\mathbb {R}$. Diz-se que função $f(x)$ é derivável no ponto $a\in I$ se existir o seguinte limite:

$f'(a)=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$.

Se for esse o caso, o número real $f'(a)$ é chamado de derivada da função $f$ no ponto $a$. Notações equivalentes são:

$f'(a)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)=\left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=a}$.

Equivalentemente, escrevemos:

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

o que é obtido fazendo $h=x-a$ no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de $f(x)$ por:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

para todo $x$ para o qual este limite existe.

Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

Inclinação da secante ao gráfico de f

Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

Seja f uma função real definida em uma vizinhança aberta de um número real a.  

Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função f em a foi a única linha que passou pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não passou diretamente pelo gráfico.

O declive da secante ao gráfico de f, na imagem acima, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φ_a de I em R contínua em a tal que

$(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi _{a}(x)\cdot (x-a)$.

Então define-se a derivada de f em a como sendo φ_a(a).

Funções com valores em R$^{n}$

Se $I$ for um intervalo de $\mathbb {R}$ com mais do que um ponto e se $f$ for uma função de $I$ em $\mathbb {R} ^{n}$, para algum número natural $n$, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

${\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&x&\mapsto &(\cos(x),\operatorname {sen} (x))\end{array}}$ (ou seja: uma função que a cada x do domínio em $\mathbb {R}$ responde com uma coordenada no contradomínio em $\mathbb {R} ^{n}$. Esta coordenada é $(\cos(x),\operatorname {sen} (x))$.

é derivável e

$(\forall x\in \mathbb {R} ):f'(x)=(-\operatorname {sen} (x),\cos(x)).$

O gráfico de uma função, desenhadas em preto, e uma linha tangente a essa função, elaborado em vermelho. A inclinação da linha tangente é igual a derivada da função no ponto marcado.

De fato, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, exceto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Diferenciabilidade

Derivabilidade num ponto

• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função de $I$ em R derivável em $a$. Então $f$ é contínua em $a$. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e sejam $f$ e $g$ funções de $I$ em R deriváveis em $a$. Então as funções $f$ ± $g$, $f.g$ e (caso $g(a)$ ≠ $0$) $f/g$ também são deriváveis em $a$ e:
  • $(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)$
  • $(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$
  • $(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}$

Em particular, se $c$ ∈ R, então $(c.f)'=c.f'$. Resulta daqui e de se ter $(f+g)'=f'+g'$ que a derivação é uma aplicação linear.

• Sejam $I$ e $J$ intervalos de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$, seja $f$ uma função de $I$ em $J$ derivável em $a$ e seja seja $g$ uma função de $J$ em R derivável em $f(a)$. Então $g$ o $f$ é derivável em $a$ e

$(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)$.

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função contínua de $I$ em R derivável em $a$ com derivada não nula. Então a função inversa $f^{-1}$ é derivável em $f(a)$ e

$(f^{-1})'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}}\cdot$

Outra maneira de formular este resultado é: se $a$ está na imagem de $f$ e se $f$ for derivável em $f^{-1}(a)$ com derivada não nula, então

$(f^{-1})'(a)={\frac {1}{f'{\bigl (}f^{-1}(a){\bigr )}}}\cdot$

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Gráfico de uma função derivável.

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Gráfico da função modular, que não é derivável em $0$.

Derivabilidade em todo o domínio

Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.

Uma função diferenciável

• Uma função derivável $f$ de $I$ em R é constante se e só se a derivada for igual a $0$ em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
• Uma função derivável $f$ de $I$ em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a $0$ em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.

Uma função cuja derivada seja sempre maior que $0$ é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor $0$ em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por $f(x)=x^{3}$. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.

• Se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, sendo $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, então $f'(I)$ também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se $f$ for uma função derivável de $[a,b]$ em R e se $y$ for um número real situado entre $f'(a)$ e $f'(b)$ (isto é, $f'(a)$ ≤ $y$ ≤ $f'(b)$ ou $f'(a)$ ≥ $y$ ≥ $f'(b)$), então existe algum $c$ ∈ $[a,b]$ tal que $f'(c)=y$. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

Funções continuamente deriváveis

Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto e seja $f$ uma função de $I$ em R. Diz-se que $f$ é continuamente derivável ou de classe $C^{1}$ se $f$ for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

${\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\begin{cases}x^{2}\mathop {\mathrm {sen} } ({\frac {1}{x}})&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x=0{\text{,}}\end{cases}}\end{array}}$

pois o limite $\lim _{x\rightarrow 0}f'(x)$ não existe; em particular, f' não é contínua em $0$.

Derivadas de ordem superior

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)\right)$

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}$

ou alternativamente,

$f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)$

ou ainda

$f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)$

Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f^(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe C^k.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C^∞.

Exemplos

Se $c$ ∈ R, a função $f$ de R em R definida por $f(x)=c$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $0$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:

$\lim _{x\rightarrow a}{\frac {c-c}{x-a}}=0$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi _{a}$ de R em R por $\phi _{a}(x)=0$, então $\phi _{a}$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$c=c+0.(x-a)=c+\varphi _{a}(x).(x-a)$;

além disso, $f'(a)=\phi _{a}(a)=0$.

A função $f$ de R em R definida por $f(x)=x$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $1$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:

$\lim _{x\rightarrow a}{\frac {x-a}{x-a}}=1$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi _{a}$ de R em R por $\phi _{a}(x)=1$, então $\phi _{a}$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$x=a+1.(x-a)=a+\varphi _{a}(x).(x-a)$;

além disso, $f'(a)=\phi _{a}(a)=1$.

A função $f$ de R em R definida por $f(x)=x^{2}$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto $a$ ∈ R é igual a $2a$, pois:

$\lim _{x\rightarrow a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {(x-a)(x+a)}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}x+a=2a$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi _{a}$ de R em R por $\phi _{a}(x)=x+a$, então $\phi _{a}$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$x^{2}=a^{2}+(x^{2}-a^{2})=a^{2}+\varphi _{a}(x).(x-a)$;

além disso, $f'(a)=\phi _{a}(a)=2a$.

A função módulo de R em R não é derivável em $0$ pois

$(\forall x\in \mathbb {R} ):{\frac {|x|-|0|}{x-0}}={\begin{cases}1&{\text{ se }}x>0\\-1&{\text{ se }}x<0\end{cases}}$

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em $a$ é igual a $1$ quando $a>0$ e é igual a $-1$ quando $a<0$.

Ponto de inflexão

Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = $x^{\frac {1}{3}}\,\!$. Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.

Pontos críticos, estacionários ou singulares

Ver artigo principal: Ponto crítico

Pontos onde a derivada da função é igual a $0$ chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos $x$. Estes pontos podem acontecer:

1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função $f(x)=x^{3}$: no ponto $x=0$ a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função $f(x)=x^{2}sin(1/x)$
5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.

Derivadas notáveis

Ver artigo principal: Tabela de derivadas

A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.

A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados. 

Alguns exemplos de derivadas notáveis são:

• A função exponencial natural y = e^x = exp(x) cuja derivada é igual a si mesma, isto é:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}.$

• A função logaritmo natural y = ln(x):

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\quad x>0.$

Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}$ e da fórmula para a derivada da inversa que

$(\forall x>0):\log '(x)=(\exp ^{-1})'(x)={\frac {1}{\exp '{\bigl (}\exp ^{-1}(x){\bigr )}}}={\frac {1}{\exp(\log(x))}}={\frac {1}{x}}\cdot$

Reciprocamente, supondo-se que, para cada $x>0$, $\log '(x)=1/x$, então $\exp '(x)=(\log ^{-1})'(x)={\frac {1}{\log '{\bigl (}\log ^{-1}(x){\bigr )}}}={\frac {1}{1/\exp(x)}}=\exp(x).$

• Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin(x)=\cos(x).$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos(x)=-\sin(x).$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)=-\cot(x)\csc(x)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)$

• E funções Funções trigonométricas inversas:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

Regras para funções combinadas

Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite.  Algumas das regras mais básicas são as seguintes:

• Regra da constante: se f(x) é constante, então:

$f'=0.\,$

• Regra da soma:

$(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,$

para todas as funções f e g e todos os números reais $\alpha$ e $\ beta$

• Regra do produto:

$(fg)'=f'g+fg'\,$

para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\pi r^{2}=2\pi r.\,$

• Regra do quociente:

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$

para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.

• Regra da cadeia:

Se $f(x)=h(g(x)),$

então:

$f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,$

Exemplo de uso

A derivada de $f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,$

é ${\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}$

As derivadas conhecidas de funções elementares $x^{2},x^{4},$ sen(x) e $exp(x)=e^{x}$, assim como a constante 7, também foram usadas. 

Funções de uma variável complexa

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Física

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:

• Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
• Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.

Posto de outro modo:

${\begin{aligned}v(t)&={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\\a(t)&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\end{aligned}}$

Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

Derivadas em maiores dimensões

Em dimensão 1, as derivadas são pensadas como números pois, nesta dimensão, um número e uma transformação linear são a mesma coisa. Entretanto, para dimensões maiores, as derivadas necessitam ser tratadas como transformações lineares.

Derivadas de funções vetoriais

Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em $R^{n}$ algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = ($y_{1}$ (t), ..., $y_{n}$ (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³.

As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,  

$\mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).$

equivalentemente, 

$\mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},$ se o limite existe.

A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y' é outra função vetorial. 

Se $e_{1}$, ..., $e_{n}$ é a base padrão para $R^{n}$, então y (t) também pode ser escrito como $y_{1}$(t)$e_{1}$ + ... + $y_{n}$(t)$e_{n}$. Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade, então a derivada de y (t) deve ser

$y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}$

porque cada um dos vetores de base é uma constante. 

Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em seguida, o derivado y '(t) é o vetor de velocidade da partícula no tempo t. 

Derivadas parciais

Ver artigo principal: Derivada parcial

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.

Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, 

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$

f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis: 

$f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$

Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função,  denotando $f_{x}$, que é uma função de um número real.  Ou seja, 

$x\mapsto f_{x},\,$

$f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$

Uma vez que um valor de x é escolhido,  digamos a, então f(x,y) determina a função $f_{a}$ que envia y a a2+ay+y2: 

$f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,$

Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que $f_{a}$ é uma função de uma única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se: 

$f_{a}'(y)=a+2y.\,$

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Montando as derivadas juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y: 

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.$

Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial. 

Em geral, a derivada parcial de uma função f ($x_{1}$, ..., $x_{n}$) na direção de $x_{i}$, no ponto ($a_{1}$ ..., $a_{n}$) é definido como sendo:  

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.$ 

Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto $x_{i}$, são mantidos fixos. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável. 

{$f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

e por definição, 

${\frac {\mathrm {d} f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz para o cálculo dos derivados de uma variável. 

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar f ($x_{1}$, ..., $x_{n}$) em um domínio no espaço Euclidiano $R^{n}$ (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável $x_{j}$. No ponto a, estas derivadas parciais definem o vetor 

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f  que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). 

Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.

Derivadas direcionais 

Se f é uma função com valores reais em $R^{n}$, então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: 

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite  

$D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa computação de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso funciona, suponha v = λu. Substitua h = k/λ no quociente da diferença. 

O quociente da diferença torna-se: 

${\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.$

Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f  no que diz respeito a u. Além disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a zero, pois h e k são múltiplos um do outro. 

Portanto, Dv(f) = λDu(f). Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários.    

Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção de v  pela fórmula: 

$D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$ 

Essa é a consequência da definição de derivada total. Diz-se que a derivada direcional é linear em v, significando que D$_{V}$ + $_{W}$(f) = D$_{V}$(f) + D$_{W}$(f).  

A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em $R^{m}$. . A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em $R^{m}$.

Derivadas de aplicações

Sejam $U$ um aberto de ${\mathbb {R} }^{m}$, $z_{0}\in U$ e $f:U\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ uma função. Dizemos que $f$ é diferenciável quando existem uma transformação linear $T:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ e uma função $r:\{z-z_{0}:z\in U\}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ dada por $r(h)=f(z_{0}+h)-f(z_{0})-T.h$ tais que

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {r(h)}{|h|}}=0$.

Neste caso, a aplicação $T$ é chamada de derivada da função $f$ no ponto $z_{0}$ e denotada por $Df(z_{0})$. Em outras palavras

$Df(z_{0})=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x+tz_{0})-f(x)}{t}}.$

Exemplos

1. Se $f:U\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, $z_{0}\in U$ e $h\in \mathbb {R}$, então $$Df(z_{0})h=h.f'(z_{0}).$$
2. Se $f:U\subset \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$, $z_{0}\in U$ e $h\in \mathbb {R} ,$ então $$Df(z_{0})h=h.(f_{1}'(z_{0}),f_{2}'(z_{0}),...,f_{n}'(z_{0})).$$
3. Se $f:U\subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }$, $z_{0}\in U$ e $h=(h_{1},\cdots ,h_{m})\in \mathbb {R} ^{m},$ então $$Df(z_{0})h=h_{1}.{\partial f \over \partial x_{1}}(z_{0})+\cdots +h_{m}.{\partial f \over \partial x_{m}}(z_{0})$$
4. Se $f:U\subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$, $z_{0}\in U$ e $h\in \mathbb {R} ^{n},$ então $$Df(z_{0})h=(h.\nabla f_{1}(z_{0}),\cdots ,h.\nabla f_{n}(z_{0}))$$

Nesta definição, podemos considerar a derivada parcial de uma aplicação como sendo

${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)=Df(x)e_{j}.$

Podemos repensar nessa igualdade. Se observarmos que $e_{j}x$ corresponde à $j$-ésima coordenada de $x$ e que a $j$-ésima coordenada de $\nabla f(z_{0})$ é ${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})$ segue que $${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(z_{0}),\cdots ,{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{j}}}(z_{0})\right)$$

Referências

Bibliografia

• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 
• Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
• Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.

Ver também

• Cálculo Diferencial e Integral
• Cálculo fracionário
• Derivada simétrica, Diferenciação automática, Diferenciação numérica
• Diferintegral
• Classe de diferenciabilidade
• Linearização
• Tabela de derivadas
• Técnicas para diferenciação

Ligações externas

• «Rei da Derivada - Torneio inventado pelo prof. Ricardo Fragelli para ensino de derivadas» 
• «Cálculo diferencial para funções trigonométricas» (PDF) 
• «tese de Engenharia Mecânica aplicando derivadas fracionárias» (PDF) 
• «Equações generalizadas de difusão (aplica derivadas parciais fracionárias)» 
• «Calculadora de derivadas com soluções detalhadas passo a passo e gráficos» 
• «Calcular derivada passo a passo» (em inglês)