Discriminante fundamental

Em matemática, um discriminante fundamental D é um invariante inteiro na teoria das formas quadráticas binárias integrais. Se Q(x, y) = ax² + bxy + cy² for uma forma quadrática com coeficientes inteiros, então D = b² − 4ac é o discriminante de Q(x, y). Por outro lado, todo inteiro D com D ≡ 0, 1 (mod 4) é o discriminante de alguma forma quadrática binária com coeficientes inteiros. Sendo assim, todos esses inteiros são referidos como discriminantes na teoria.^[1]

Existem condições de congruência explícitas que fornecem o conjunto de discriminantes fundamentais. Especificamente, D é um discriminante fundamental se, e somente se, uma das seguintes afirmações for verdadeira:^[2]

D ≡ 1 (mod 4) e livre de quadrados,
D = 4m, em que m ≡ 2 ou 3 (mod 4) e m é livre de quadrados.

Os primeiros dez discriminantes fundamentais positivos são:

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33 (sequência A003658 na OEIS).

Os primeiros dez discriminantes fundamentais negativos são:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (sequência A003657 na OEIS).

Conexão com corpos quadráticos

Há uma conexão entre a teoria das formas quadráticas binárias integrais e a aritmética dos corpos de números quadráticos. Uma propriedade básica desta conexão é que D₀ é um discriminante fundamental se, e somente se, D₀ = 1 ou D₀ é o discriminante de um corpo de número quadrático. Há exatamente um corpo quadrático para cada discriminante fundamental D ₀ ≠ 1, a menos de isomorfismo.

Esta é a razão pela qual alguns autores consideram 1 não ser um discriminante fundamental. Pode-se interpretar D₀ = 1 como o corpo "quadrático" degenerado Q (os números racionais).^[3]^[4]

Fatoração

Os discriminantes fundamentais também podem ser caracterizados por sua fatoração em potências de primos positivas e negativas. Defina o conjunto

$S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \}$

formado por -8, -4, 8 e números primos ímpares, os primos ímpares ≡ 1 (mod 4) são positivos e os ≡ 3 (mod 4) são negativos. Então, um número D₀ ≠ 1 é um discriminante fundamental se, e somente se, for o produto de fatores coprimos entre si de S.^[2]

Referências

↑ «Discriminante fundamental» (em inglês). Microsoft Academic. Consultado em 28 de março de 2021
↑ ^a ^b Cohen, Henri (1993). A Course in Computational Algebraic Number Theory. Col: Graduate Texts in Mathematics. 138. Berlin, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-55640-0. MR 1228206
↑ Buell, Duncan A. (1989). Binary quadratic forms : classical theory and modern computations. Internet Archive. [S.l.]: New York : Springer-Verlag
↑ Zagier, Don (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper. Berlin, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10603-6

[1] «Discriminante fundamental» (em inglês). Microsoft Academic. Consultado em 28 de março de 2021

[:0-2] Cohen, Henri (1993). A Course in Computational Algebraic Number Theory. Col: Graduate Texts in Mathematics. 138. Berlin, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-55640-0. MR 1228206

[3] Buell, Duncan A. (1989). Binary quadratic forms : classical theory and modern computations. Internet Archive. [S.l.]: New York : Springer-Verlag

[4] Zagier, Don (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper. Berlin, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10603-6

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