Divisibilidade

Em aritmética e teoria dos números, diz-se que um número inteiro não nulo $a$ divide um inteiro $b$ , se existe um inteiro $c$ , tal que $b=a\cdot c$ . Se $a$ divide $b$ , $b$ é chamado múltiplo de $a$ , e $a$ é chamado divisor de $b$ . Se $a$ divide $b$ usa-se o símbolo: $a|b$ .

Formalmente, escreve-se que: $a$ é divisor de $b$ $\Leftrightarrow \exists {\ c\in \mathbb {Z} };b=ac$

Propriedades da divisibilidade

Se $a$ é um inteiro diferente de $0$ , temos que: $a$ divide $0$ ;

Se $a$ é um inteiro, temos que: $1|a$ ;

Se $a$ é um inteiro, temos que: $a|a$ ;

Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;

Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;
Se a|b e b|c, temos que: a|c;
Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;
Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| > |a| ou |b| = |a|;
Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;
Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;
Se ab|ac então: b|c;
Se b|c, então: ab|ac;
Se a|b, então (b/a)|b.

Algoritmo da divisão

Teorema: Dados dois números inteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = qb + r

Demonstração

Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxianos, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja,

qb ≤ a < (q + 1)b

segue deste teorema que

0 ≤ a - qb < b

definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nos agora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista $r_{1}$ e $q_{1}$ que satisfaça a = $q_{1}$ b + $r_{1},$ temos

(qb + r) - ( $q_{1}$ b + $r_{1}$ ) = 0

(q - $q_{1}$ )b = ( $r_{1}$ - r)

então

b | ( $r_{1}$ - r) (b divide ( $r_{1}$ - r))

Como $r_{1}$ < b e r < b, segue que | $r_{1}$ - r| < b, concluímos que

$r_{1}$ - r = 0 ⇒ $r_{1}$ = r

e

(q - $q_{1}$ )b = 0

qb = $q_{1}b$ ⇒ q = $q_{1}$

Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.

Exemplos

34/7 tem quociente 4 e resto 6 → 34 = 4*7 + 6
25/3 tem quociente 8 e resto 1 → 25 =3*8 + 1

Bibliografia

Santos, José Plínio de Oliveira (2007). Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: IMPA. 198 páginas. ISBN 9788524401428