Divisor de zero

Em um anel A, um divisor de zero é um elemento diferente de zero que, multiplicado por um outro elemento também diferente de zero, gera o zero.

Caso não comutativo

Em um anel genérico, a multiplicação não é comutativa. Nesse caso, podemos classificar os divisores de zero em:

• x é um divisor de zero à direita quando $x\neq 0\land \exists a,a\neq 0,ax=0\,$
• x é um divisor de zero à esquerda quando $x\neq 0\land \exists b,b\neq 0,xb=0\,$
• x é um divisor de zero quando x é um divisor de zero à direita e um divisor de zero à esquerda

Exemplos

• No anel $\mathbb {Z} _{n}\,$, um elemento m é um divisor de zero se, e somente se, m > 1 e m é um divisor de n.
• No anel das matrizes n x n (para n > 1) sobre um corpo qualquer, os divisores de zero à esquerda são idênticos aos divisores de zero à direita.
• O caso acima é um caso particular de uma álgebra associativa que, como espaço vetorial, tem dimensão finita. Neste caso, todo divisor de zero à esquerda é um divisor de zero à direita.
• O contra-exemplo de uma álgebra associativa em que existem divisores de zero à esquerda que não são divisores de zero à direita pode ser construído assim:
  • Seja S = $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,$ o espaço vetorial das sequências infinitas de números reais
  • A álgebra L(S, S) dos operadores lineares de S é um anel, com a operação de soma sendo a soma dos operadores lineares, e a multiplicação sendo a composição de funções.
  • Neste anel, destacam-se três operadores:
    • O movimento para a direita R(a₁, a₂, a₃,...) = (0, a₁, a₂,...)
    • O movimento para a esquerda L(a₁, a₂, a₃,... ) = (a₂, a₃,...)
    • A projeção na primeira coordenada T(a₁, a₂, a₃,... ) = (a₁, 0, 0, ... ).
  • Nenhum deles é zero, e, como LT = TR = 0, vemos que L é um divisor de zero à esquerda, R é um divisor de zero à direita e T é um divisor de zero.
  • Como LR = 1 (o operador identidade), vemos que nem R pode ser um divisor de zero à esquerda, nem L pode ser um divisor de zero à direita: por exemplo, se XL = 0, então XLR = 0 logo X = 0.
  • Estes operadores podem ser interpretados como matrizes infinitas. A matriz

$A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&\\0&0&1&0&0&\cdots \\0&0&0&1&0&\\0&0&0&0&1&\\&&\vdots &&&\ddots \end{pmatrix}}$

• • representa L, enquanto que sua transposta B = A^T representa R. É fácil ver que AB é a matriz identidade.