Elasticidade de substituição

Elasticidade de substituição é a elasticidade da razão de duas entradas para uma função de produção ou função utilidade em relação à proporção de seus produtos marginais (ou utilidades marginais). Em um mercado competitivo, ela mede a variação percentual na proporção de dois insumos utilizados em resposta a uma variação percentual em seus preços. Ela mede a curvatura de uma isoquanta e, assim, a substituibilidade entre insumos (ou bens), ou seja, como é fácil substituir uma entrada (ou boa) pela outra.

História do conceito

John Hicks introduziu esse conceito em 1932. Joan Robinson descobriu de forma independente em 1933, usando uma formulação matemática que era equivalente a de Hicks, embora isso não tenha sido divulgado na época.

Definição matemática

Quando a utilidade sobre o consumo é dada por $U(c_{1},c_{2})$ e quando ${\displaystyle U_{c_{i}}=dU(c_{1},c_{2})/d{c_{i}}}$. Então a elasticidade de substituição é:

$E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}}$

Onde $MRS$ é a taxa marginal de substituição. A última igualdade apresenta $MRS_{12}=p_{1}/p_{2}$ que é uma relação da condição de primeira ordem para um problema de maximização da utilidade do consumidor no equilíbrio interior de Arrow-Debreu. Intuitivamente, estamos analisando como as escolhas relativas de um consumidor em relação aos itens de consumo mudam à medida que os preços relativos mudam.

Note também que $E_{21}=E_{12}$:

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{2}/c_{1})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}}$

Uma caracterização equivalente da elasticidade de substituição é:

$E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}$

Em modelos de tempo discreto, a elasticidade de substituição do consumo em períodos $t$ e $t+1$ é conhecida como elasticidade de substituição intertemporal.

Da mesma forma, se a função de produção é $f(x_{1},x_{2})$ então a elasticidade da substituição é:

$\sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}$

Onde $MRTS$ é a taxa marginal de substituição técnica.

O inverso da elasticidade de substituição é a elasticidade da complementaridade.

Exemplo

Considere a função de produção Cobb-Douglas $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}$.

A taxa marginal de substituição técnica é:

$MRTS_{12}={\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$

É conveniente alterar as notações. Denotar:

${\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\theta$

Reescrevendo isso, temos:

${\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {1-a}{a}}\theta$

Então a elasticidade de substituição é:

$\sigma _{21}={\frac {d\ln({\frac {x_{2}}{x_{1}}})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln({\frac {x_{2}}{x_{1}}})}{d\ln({\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}})}}={\frac {d\ln({\frac {1-a}{a}}\theta )}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {1-a}{a}}\theta }{d\theta }}{\frac {\theta }{{\frac {1-a}{a}}\theta }}=1$

Interpretação econômica

Dada uma alocação / combinação original e uma substituição específica na alocação / combinação para a original, quanto maior a magnitude da elasticidade de substituição (a taxa marginal de elasticidade de substituição da alocação relativa), mais provável a substituição. Há sempre dois lados no mercado; aqui estamos falando do receptor, já que a elasticidade de preferência é a do receptor.

A elasticidade da substituição também rege a forma como o gasto relativo de bens ou insumos de fatores se altera à medida que os preços relativos mudam. Se $S_{21}$ denotar despesas em $c_{2}$ em relação a isso em $c_{1}$. Isso é:

$S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}$

Com os preços relativos $p_{2}/p_{1}$ mudando, as despesas relativas mudam de acordo com:

${\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)$

Assim, se um aumento no preço relativo do $c_{2}$leva a um aumento ou diminuição dos gastos relativos $c_{2}$, depende de se a elasticidade de substituição é menor ou maior que um. Intuitivamente, o efeito direto de um aumento no preço relativo de $c_{2}$ é o aumento das despesas com $c_{2}$, uma vez que uma dada quantidade de $c_{2}$ é mais caro. Por outro lado, supondo que os bens em questão não são bens de Giffen, um aumento no preço relativo de $c_{2}$ leva a uma queda na demanda relativa de $c_{2}$, de modo que a quantidade de $c_{2}$ diminua, o que reduz as despesas com $c_{2}$.

Qual destes efeitos domina depende da magnitude da elasticidade de substituição. Quando a elasticidade de substituição é menor que um, o primeiro efeito domina: a demanda relativa por $c_{2}$ cai, mas proporcionalmente menos do que o aumento do seu preço relativo, de modo que a despesa relativa aumenta. Nesse caso, as mercadorias são bens complementares.

Inversamente, quando a elasticidade de substituição é maior do que um, o segundo efeito domina: a redução na quantidade relativa excede o aumento no preço relativo, de modo que a despesa relativa em $c_{2}$ cai. Nesse caso, as mercadorias são bens substitutos. Note que quando a elasticidade de substituição é exatamente um (como no caso de Cobb-Douglas), a despesa em $c_{2}$ relativo a $c_{1}$ é independente dos preços relativos.

Bibliografia

• Hicks, J. R. The Theory of Wages. [S.l.: s.n.]  Primeiro definido lá.
• Mas-Colell, Andreu; Whinston; Green. Microeconomic Theory. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0195073409 
• Varian, Hal. Microeconomic Analysis. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-393-95735-8 
• «Factor Substitution and Factor-Augmenting Technical Progress in the United States: A Normalized Supply-Side System Approach». Review of Economics and Statistics. 89. doi:10.1162/rest.89.1.183 

Ligações externas

• A Elasticidade da Substituição , Gonçalo L. Fonsekca, ensaio, A Nova Escola de Pesquisa Social.

Ver também

• Elasticidade de substituição constante