Urelemento

Em matemática, mais exatamente em teoria dos conjuntos, um urelemento ou ur-elemento (onde ur- é um prefixo alemão com o significado de “primordial”) é um objeto (concreto ou abstrato) que não é um conjunto, mas que pode ser um elemento de um conjunto. Urelementos são, às vezes, também chamados de "átomos" ou "indivíduos".

Teoria

Há diversas maneiras diferentes, mas essencialmente equivalentes, de tratar urelementos num sistema lógico de primeira ordem.

Uma maneira é trabalhar com dois tipos de objetos, conjuntos e urelementos, com U ∈ X estando definido apenas quando X for um conjunto. Neste caso, se U é um urelemento, não fará sentido algum algo como

$X\in U,$

sendo, contudo,

$U\in X$

perfeitamente legítimo.

Um urelemento não deve ser confundido com o conjunto vazio em que

$X\in \varnothing$

é bem-definido (ainda que falso) porque $\varnothing$ é um conjunto, ao passo que U não é.

Uma outra maneira é trabalhar em uma teoria monotipada com uma relação unária usada para distinguir conjuntos e urelementos. Como conjuntos não-vazios contêm membros e urelementos não possuem, a relação unária é necessária apenas para fazer distinção entre o conjunto vazio e os urelementos. Nesse caso, o axioma da extensão deve ser formulado para ser aplicável apenas a objetos que não são urelementos.

Uma situação assim é análoga aos tratamentos dados às teorias de conjuntos e classes. De fato, urelementos são, de alguma forma, duais às classes próprias: urelementos não podem possuir membros ao passo que classes próprias não podem ser membros. Colocando de maneira diferente, urelementos são objetos mínimos enquanto classes próprias são objetos máximos com respeito a relação de pertinência (que não é, obviamente, uma relação de ordem, de modo que essa analogia não deve ser levada ao pé da letra).