Eliminação da disjunção

Para o teorema da logica proposicional que expressa a eliminação da disjunção, veja Análise de casos.

Na lógica proposicional, eliminação da disjunção (as vezes chamado prova por casos ou análise de casos), é a forma de argumento válido e regra de inferência que permite a eliminação de um argumento disjunctivo de uma prova lógica. É a inferência que a afirmação $P$ implica a afirmação $Q$ e a afirmação $R$ também implica $Q$, assim se $P$ ou $R$ são verdadeiras, então $Q$ tem que ser verdadeiro. A razão é simples: desde que pelo menos uma das afirmações P e R sejam verdadeiras, e desde que pelo menos uma delas seja suficiente para confirmar Q, então Q certamente será correto.

Se estou dentro, eu tenho minha carteira comigo.

Se estou fora, tenho minha carteira comigo.

É verdade que eu estou dentro ou fora.

Portanto, eu tenho minha carteira comigo.

Isto é, a regra pode ser definida como:

${\frac {P\to Q,R\to Q,P\lor R}{\therefore Q}}$

Onde a regra é que toda vez que instâncias de "$P\to Q$", e "$R\to Q$" e "$P\lor R$" aparecem em uma linha da prova, "$Q$" pode ser colocado na linha subsequente.

Notação formal

A regra da Eliminação da disjunção pode ser escrita na notação de sequentes:

$(P\to Q),(R\to Q),(P\lor R)\vdash Q$

Onde $\vdash$ é o símbolo metalógico significando que $Q$ é uma consequência sintática de $P\to Q$, e $R\to Q$ e $P\lor R$ em algum sistema lógico.;

e expressado como uma tautologia funcional verdadeira ou teorema da lógica proposicional:

$(((P\to Q)\land (R\to Q))\land (P\lor R))\to Q$

Onde $P$, $Q$, e $R$ são proposições expressas em algum Sistema formal.

Veja também

• Disjunção
• Argumento na alternativa
• Forma normal disjuntiva