Equação diferencial de Euler

Ao encontrarmos uma equação diferencial linear na seguinte forma

$a_{n}\,x^{n}{d^{n}y \over dx^{n}}+a_{n-1}\,x^{n-1}{d^{n-1}y \over dx^{n-1}}+...+a_{1}\,x{dy \over dx}+a_{0}\,y=g(x),$

onde os coeficientes $a_{n}$, $a_{n-1}$, . . . , $a_{0}$ são constantes, esta é conhecida como equação de Euler-Cauchy. A principal característica desse tipo de equação é que o grau $k=n,\,n-1,...,1,0$ dos coeficientes $x^{k}$ corresponde a ordem $k$ de diferenciabilidade $d^{k}y \over dx^{k}$

$\qquad \qquad \downarrow \,\,\,\,\downarrow \qquad \qquad \quad \,\downarrow \quad \,\,\downarrow$

$a_{n}x^{n}{d^{n}y \over dx^{n}}+a_{n-1}\,x^{n-1}{d^{n-1}y \over dx^{n-1}}+...$

Nota: Para outros sentidos, procure Equação de Euler.

Equação de Euler-Cauchy de Segunda Ordem

Uma análise minuciosa da forma da solução geral da equação homogênea de segunda ordem

$ax^{2}\,{d^{2}y \over dx^{2}}+bx{dy \over dx}+cy=0$ $(1)$

A solução para equações de ordem superior é análoga. Também podemos resolver a equação não homogênea $ax^{2}y''+bxy'+cy=g(x)$ pelo método da variação de parâmetros, uma vez que houvermos determinado a $y_{p}$ particular.

Nota: O coeficiente $ax^{2}$ de $y''$ é zero em $x=0$. Assim concentraremos nossa atenção para encontrar as soluções gerais definidas no intervalo $(0,\infty )$. Soluções no intervalo $(-\infty ,0)$ podem ser obtidas substituindo $t=-x$ na equação diferencial.

Solução da equação homogênea de segunda ordem

Vamos tentar uma solução da forma $y=x^{m}$, onde $m$ será determinado. De forma análoga com o que acontece quando substituímos $e^{mx}$ equação linear com coeficientes constantes, quando substituímos $x^{m}$, cada termo da equação de Euler-Cauchy se transforma em um polinômio em $m$ vezes $x^{m}$, como

$a_{k}x^{k}{dk^{y} \over dx^{k}}=a_{k}x^{k}m(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^{m-k}=a_{k}m(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^{m}$

Por exemplo, quando substituímos $y=x^{m}$, a equação de segunda ordem se torna

$ax^{2}{d^{2}y \over dx^{2}}+bx{dy \over dx}+cy=am(m-1)x^{m}+bmx^{m}+cx^{m}=[am(m-1)+bm+c]x^{m}$

Assim $y=x^{m}$ é uma solução da equação diferencial sempre que $m$ é solução da equação auxiliar

$am(m-1)+bm+c=0$ ou $am^{2}+(b-a)m+c=0$ $(2)$

Existem três casos diferentes para serem considerados, dependendo se as raízes dessa equação quadrática são reais e distintas, reais e iguais, ou complexas. No último caso as raízes são um par conjugado.

Caso 1: raízes reais e distintas

Sejam $m_{1}$ e $m_{2}$ as raízes reais e distintas de $(2)$ tal que $m_{1}\neq m_{2}$. Então $y_{1}=x^{m_{1}}$ e $y_{2}=x^{m_{2}}$ formam um conjunto fundamental de soluções. Donde a solução geral é dada por

$y=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}}.$

Caso 2: raízes reais e iguais

Se as raízes de $(2)$ são iguais ($m_{1}=m_{2}$) então conhecemos apenas uma solução, $y_{1}=t^{m_{1}}$, da equação de Euler-Cauchy. Aplicamos, então, o Método de d'Alambert para descobrir uma segunda solução $y_{2}$ linearmente independente de $y_{1}$. Procuramos $y_{2}$ da forma $y_{2}=vy_{1}$. Substituindo em $(1)$, temos:

$t^{2}(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}'')+at(v'y_{1}+vy_{1}')+bvy_{1}=0.$
Agrupando os termos, obtemos:

$t^{2}y_{1}v''+(2t^{2}y_{1}'+aty_{1})v'+(t^{2}y_{1}''+aty_{1}'+by_{1})v=0$

Mas como o argumento de $v$ é a própria equação de segunda ordem de Euler-Cauchy e sabemos que a mesma é igual a zero, temos:

$t^{m_{1}+2}v''+(2m_{1}t^{m_{1}+1}+at^{m_{1}+1})v'=0$

Simplificando:

$tv''+(2m_{1}+a)v'=0.$ $(3)$

Veja que a equação $(2)$ reescrevendo como $m^{2}+(a-1)m+b=0$. Logo, se ela tem raiz dupla é porque $(a-1)^{2}-4b=0$. Neste caso, a raiz dupla é

$m_{1}=m_{2}={1-a \over 2}.$

Daí, $2m_{1}+a=1.$ Substituindo em $(3)$, obtemos:

$tv''+v'=0,$

que é redutível à primeira ordem. Considerando $z=v'$ obtemos

$t\,{dz \over dt}+z=0$

Separando as variáveis, temos

${dz \over z}={-dt \over t}$

Integrando e escolhendo uma constante de integração como sendo $0$, encontramos $\ln z=-\ln t$, de onde segue

$v'=z=t^{-1}$

Ao integrarmos novamente, temos $v=\ln t$ e, por fim

$y_{2}=t^{m_{1}}\ln t$

Conclusão: se a equação algébrica $(2)$ tem raiz real dupla $m_{1}=m_{2}$, duas soluções linearmente independentes para a equação de Euler-Cauchy de segunda ordem são

$y_{1}=t^{m_{1}}$ e $y_{2}=t^{m_{1}}\ln t$.

Caso 3: Raízes complexas conjugadas

Se as raízes de $(2)$ são o par conjugado $m_{1}=\alpha +i\beta ,\,\,m_{2}=\alpha -i\beta$, onde $\alpha$ e $\beta$ $>0$ são reais, então uma das soluções é

$y=C_{1}x^{\alpha +i\beta }+C_{2}x^{\alpha -i\beta }.$

Porém, quando as raízes da equação quadrática auxiliar são complexas, como no caso de equações com coeficientes constantes, temos que escrever a solução apenas em termos de funções reais. Para tanto, usamos a identidade a seguir:

$x^{i\beta }=(e^{\ln x})^{i\beta }=e^{i\beta \ln x},$

que, pela Fórmula de Euler, é o mesmo que

$x^{i\beta }=\cos(\beta \ln x)+i\operatorname {sen} {\beta \ln x}.$

Similarmente,

$x^{-i\beta }=\cos(\beta \ln x)-i\operatorname {sen} {\beta \ln x}.$

Somando e subtraindo os últimos dois resultados temos

$x^{i\beta }+x^{-i\beta }=2\cos(\beta \ln x)$ e $x^{i\beta }-x^{i\beta }=2i\operatorname {sen}(\beta \ln x),$

respectivamente. A partir do fato de que $y=C_{1}x^{\alpha +i\beta }+C_{2}x^{\alpha -i\beta }$ é uma solução para qualquer valor que as constantes assumirem, vemos, por sua vez, para $C_{1}=C_{2}=1$ e $C_{1}=1,\,C_{2}=-1$ que

$y_{1}=x^{\alpha }(x^{i\beta }+x^{-i\beta })$ e $y_{2}=x^{\alpha }(x^{i\beta }-x^{-i\beta })$

ou $y_{1}=2x^{\alpha }\cos(\beta \ln x)$ e $y_{2}=2ix^{\alpha }\operatorname {sen}(\beta \ln x)$

também são soluções. Já que $W(x^{\alpha }\cos(\beta \ln x),x^{\alpha }\operatorname {sen}(\beta \ln x))=\beta x^{2\alpha -1}\neq 0,\,\,\beta >0$ no intervalo $(0,\infty )$, concluímos que

$y_{1}=x^{\alpha }\cos(\beta \ln x)$ e $y_{2}=x^{\alpha }\operatorname {sen}(\beta \ln x)$

constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.Portanto a a solução geral é

$y=x^{\alpha }[C_{1}\cos(\beta \ln x)+C_{2}\operatorname {sen}(\beta \ln x)].$