Parte inteira

Em matemática, a função piso, denotada por $\lfloor x\rfloor$, converte um número real $x$ no maior número inteiro menor ou igual a $x$, enquanto a função teto, denotada por $\lceil x\rceil$, converte um número real $x$ no menor número inteiro maior ou igual a $x$. As definições formais para essas função são

Função chão

Função teto

$\lfloor x\rfloor =\max \,\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\}$,

$\lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}$.

O conceito de parte inteira ou valor inteiro de um número é definido de duas maneiras por diferentes autores. Para Graham et al., a parte inteira de $x$ é o mesmo que $\lfloor x\rfloor$. Para Spanier e Oldham, a parte inteira de $x$ é igual a $\lfloor x\rfloor$ para $x$ positivo e igual a $\lceil x\rceil$ para $x$ negativo. A segunda definição será representada neste artigo como $\mathrm {int} (x)$.

O mesmo acontece para parte fracionária ou valor fracionário. Para Graham et al., a parte fracionária de $x$ é igual a $x-\lfloor x\rfloor$. Para Spanier e Oldham, a parte fracionária de $x$ é igual a $x-\mathrm {int} (x)$. A segunda definição será representada neste artigo como $\mathrm {frac} (x)$.

Tanto os nomes floor e ceiling (piso e teto em inglês) como as notações $\lfloor x\rfloor$ e $\lceil x\rceil$ foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962.

A parte inteira de um número fracionário $x$ ($x\not \in \mathbb {Z}$) é dada por:

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}-{\frac {arctan(tan(\pi (x-{\frac {1}{2}})))}{\pi }}$

Propriedades da função piso

• Tem-se

$\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1$

com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro.

• a função piso é idempotente: $\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor$.
• Para qualquer inteiro k e real x,

$\lfloor {k+x}\rfloor =k+\lfloor x\rfloor .$

• O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como $\lfloor x+0,5\rfloor$.
• A função piso não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.
• Se x for um real e n um inteiro, então n ≤ x se e só se n ≤ piso(x). A função piso é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.
• Para os reais não inteiros, a função piso tem uma representação de série de Fourier

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.$

• Se m e n são inteiros positivos coprimos, então

$\sum _{i=1}^{n-1}\lfloor im/n\rfloor =(m-1)(n-1)/2$

• O Teorema de Beatty mostra que qualquer número irracional positivo permite particionar os números naturais em duas sequências pela função piso.
• Para todo o inteiro k, o seu número de algarismos é dado por:

$\lfloor \log _{10}(k)\rfloor +1$

• É fácil ver que:

$\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor$

• e:

$x\leq \lceil x\rceil <x+1$

• É possível verificar que:

$\int {\lfloor x\rfloor }dx=\lfloor x\rfloor (x-{\frac {\lfloor x\rfloor }{2}}-{\frac {1}{2}})+C$

Bibliografia

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics : A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley. ISBN 0-20155-802-5
• Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-47143-014-5
• Spanier, J.; Oldham, K. B. (1987) "The Integer-Value Int(x) and Fractional-Value frac(x) Functions." In An Atlas of Functions, Hemisphere, Cap. 9, p. 71–78. ISBN 0-89116-573-8
• Weisstein, Eric W. Integer Part MathWorld--A Wolfram Web Resource (em inglês). Página visitada em 6 de Fevereiro de 2011.