Função gama

Em matemática, a função gama (representada pela letra maiúscula grega $\Gamma$) é uma extensão da função factorial para o conjunto dos números reais e complexos, com o argumento subtraído em 1. Se n é um inteiro positivo define-se da seguinte forma:

A função gama nos números reais.

$\Gamma (n+1)=n!$ ou $\Gamma (n)=(n-1)!$

Esta função é estendida por uma continuação analítica (ou extensão analítica) para todos números complexos com, não estando definida apenas nos inteiros não-positivos (em que a função tem polos simples). Portanto, para números complexos com a parte real positiva a definição segue por uma integral imprópria convergente:

$\Gamma (t)=\int _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x}dx$

Podemos encontrar a demonstração da convergência desta integral no artigo de Emil Artin, The Gamma Function.

A função gama é debutante em diversas funções de distribuição probabilísticas, sendo assim encontra aplicações nos campos da probabilidade, estatística e combinatória.

Motivação

A função gama pode ser vista como solução do seguinte problema de interpolação:

"Encontrar uma curva suave que conecta os pontos (x , y) dados por y = (x − 1)! em que x é um inteiro positivo."

Esboçando em um gráfico os primeiros números fatoriais fica claro que a curva pode ser desenhada, mas seria preferível ter um expressão analítica que descreve precisamente a curva, na qual o número de operações não dependa do tamanho  de x. A simples fórmula recursiva para o fatorial x! = x × ... × 2 × 1,  não pode ser usada para obter valores fracionários, pois é válida apenas quando x é um número natural. No entanto, foi demonstrado por Euler que não há uma expressão analítica convencional para fatorial, no sentido que não pode ser a combinação finita (com um número finito de termos) de somas, potências, produtos, funções exponenciais e logaritmos, demonstrado em seu artigo intitulado "Sobre progressões transcendentais, nas quais o termo geral não pode ser expresso algebricamente", ("De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt"). A função gama é uma solução que não só resolve este problema, mas também possuí distinguíveis propriedades entre as candidatas, como é mostrado no Teorema de Bohr-Mollerup.

Prova

É fácil perceber, através da regra da cadeia e de recursos da integração imprópria, que

$\int _{0}^{\infty }e^{-r}\,dr=\left.-e^{-r}\right\vert _{0}^{\infty }=1$

Usando o método da substituição, de modo que $r=st,dr=tds$, (t>0 e fixo), obtém-se:

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,ds={\frac {1}{t}},t>0$

Derivando-se em relação a $t$ e aplicando a fórmula de Leibniz:

$\int _{0}^{\infty }se^{-st}\,ds={\frac {1}{t^{2}}},t>0$

Utilizando o mesmo processo novamente:

$\int _{0}^{\infty }s^{2}e^{-st}\,ds={\frac {1.2}{t^{3}}},t>0$

Derivando sucessivas vezes em relação a $t$:

$\int _{0}^{\infty }s^{n}e^{-st}\,ds={\frac {n!}{t^{n+1}}},t>0$

Para $t=1$

$\int _{0}^{\infty }s^{n}e^{-s}\,ds=n!$

Dessa forma, tem-se uma função fatorial definida para quaisquer valores reais positivos $x$, de modo que:

$g(x)=\int _{0}^{\infty }e^{-s}s^{x}\,ds=x!$

Contudo, consagrou-se o uso de uma definição levemente destoante, a Função Gama de Euler, tal que

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{x-1}\,dt$

Assim,

$\Gamma (x)=g(x-1)$

E, analogamente, para números inteiros,

$\Gamma (n)=(n-1)!$

Com isso, acabamos de provar que a função gama funciona como uma representação do Fatorial, quando é aplicada em números inteiros, isso permite a idealização de afirmarmos que quando calculamos a função gama para outros números em seu domínio (Números fracionários ou irracionais) estamos obtendo o "fatorial" desses números. Um exemplo disso, é a seguinte relação, da qual omitiremos a demonstração:

$(1/2)!=\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

A função gama incompleta é obtida pela mesma integral que a função gama, porém com uma integral indefinida no lugar da integral definida:

$\Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.$

$\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.$

A função digama é a derivada do logaritmo da função gama:

$\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.$

A função beta, também chamada de Integral de Euler de primeiro tipo, pode ser definida por uma razão de funções gama:

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

Propriedades

Propriedade Fundamental

A propriedade mais importante da função gama é dada por

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

Que pode ser obtida pela integração por partes da definição da função gama

$\Gamma (z+1)=\left.-e^{-t}t^{z}\right\vert _{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

O lado esquerdo do resultado é igual a zero. A integral do lado direito do resultado é a própria definição da função gama.

Segue desta propriedade que

$\Gamma (z)=(z-1)\Gamma (z-1)$

E também

$\Gamma (z+1)=z(z-1)(z-2)...$

Para números inteiros, a recursividade da propriedade cai na definição do fatorial. Esta propriedade é válida também para números no domínio dos complexos.

Além delas, existe a importante propriedade abaixo encontrada por Hamilton Brito de forma independente, com $a$ e $b$ $\in \mathbb {N}$ sendo $a\geq 2$ e $b\geq 1$:

$\Gamma (a+bi)\cdot \Gamma (a-bi)=b\cdot (b^{2}+1)\cdot \pi \cdot cossech(b\cdot \pi )\prod _{n=2}^{a-1}(b^{2}+n^{2})$

Representação em produto

A função gama pode ser escrita por um produto de Hadamard:

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}$

Domínio da função gama

A integral que define a função gama converge para todo

$x>0$

Assim um intervalo de definição da função é:

$\Gamma (x):(0,{\infty })$

Prova

Escrevendo A função como:

$\int _{0}^{1}t^{x-1}e^{-t}dt+\int _{1}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt$

A segunda integral converge muito rápido pelo fator $e^{-t}$ que tende a zero quando $t$ tende a infinito, neutralizando qualquer crescimento que o termo $t^{x-1}$ apresente.

Na primeira integral para $0<t<1$ a função $e^{-t}$ fica controlada. Logo a convergência dessa integral vai depender apenas do termo $t^{x-1}$.

Para $x>0$

$\int _{0}^{1}t^{x-1}dt={\frac {1^{x}}{x}}-0={\frac {1}{x}}<{\infty }$

Para $x=0$

$\int _{0}^{1}t^{-1}dt=ln{1}-ln{0}={\infty }$

Para $x<0$ temos que $x-1<-1$, então:

$\int _{0}^{1}t^{x-1}dt>\int _{0}^{1}t^{-1}dt={\infty }$

Pela propriedade fundamental, pode-se estender o domínio da função gama em intervalos que contém números negativos. Define-se então que

$\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}$

Para números no intervalo z ∈ (-1, 0), como z < 0, vê-se que

$\Gamma (z)<0$

E também que

$\lim _{z\to 0^{-}}\Gamma (z)=\lim _{z\to 1^{+}}\Gamma (z)=-\infty$

Continuando com o mesmo processo, o domínio da função gama passa a ser

$\mathbb {R} \,$ - {0, -1, -2, -3, ...}

Um resultado de interesse em algumas aplicações calculado pela Função é $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

Demonstração

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\int _{0}^{\infty }t^{-\left({\frac {1}{2}}\right)}e^{-t}dt$

Fazendo $t=r^{2}$, obtemos $dt=2rdr$ logo:

$\int _{0}^{\infty }t^{-\left({\frac {1}{2}}\right)}e^{-t}dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}dr$

Utilizando a técnica de Liouville:

$I=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$

$I^{2}=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\int _{0}^{\infty }e^{-y^{2}}dy=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$

A última integral é uma integral dupla facilmente calculada em coordenadas polares:

$I^{2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}rdrd{\theta }={\frac {\pi }{4}}$

Utilizando uma troca de variáveis é fácil chegar ao resultado.

$I^{2}={\frac {\pi }{4}}$

$I={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

$2\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}dr=2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}={\sqrt {\pi }}$

Sendo assim:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

Bibliografia

• Boyce e DiPrima. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, editora LTC, 9ª edição, 2010.
• Dennis G. Zill, Michael R. Cullen; Equações Diferenciais, vol 1; Editora Makron Books do Brasil
• Davis, Philip J.; Abramowitz, Milton; Stegun, Irene. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 1972.

Ligações externas

• «Calculadora - Função gama»