Função iterada

Em matemática, função iterada é uma função que é composta consigo mesma, em forma repetida, em um processo chamado iteração. As funções iteradas são objeto de profundos estudos no campo dos fractais e sistemas dinâmicos.

Definição

A definição formal de uma função iterada em um conjunto $X$ é:

Seja $X$ um conjunto e $f:X\rightarrow X$ uma função. Define-se o iterado $n$-ésimo $f^{n}$ de $f$ mediante $f^{0}=\operatorname {id} _{X}$ onde $\operatorname {id} _{X}$ é a função identidade em $X$, e $f^{n+1}=f\circ f^{n}$.

Na expressão prévia, $f\circ g$ indica uma composição de funções; que tem o valor, $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.

Criação de sequências de iteração

A sequência de funções $f^{n}$ é chamada uma sequência de Picard, em homenagem a Charles Émile Picard. Dado um $x$ em $X$, a sequência de valores $f^{n}(x)$ é denominada a órbita de $x$.

Se $f^{n}(x)=f^{n+m}(x)$ para algum número inteiro $m$, então a órbita denomina-se órbita periódica. O menor número de $m$ para um dado $x$ é chamado o período da órbita. O ponto $x$ é chamado um ponto periódico.

Referências

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7