Função sublinear

Na álgebra linear, uma função sublinear (ou funcional, como é mais usada na análise funcional ) é uma função $f:V\to \mathbb {F}$ em um espaço vetorial V sobre $\mathbb {F}$ um campo ordenado (por exemplo, os números reais $\mathbb {R}$ ), que satisfaz

$f(\gamma x)=\gamma f(x)$ para qualquer positivo $\gamma \in \mathbb {F}$ e qualquer $x\in V$ ( homogeneidade positiva ) e

$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ para qualquer x,   y   ∈   V ( subaditividade ).

Em análise funcional, o nome funcional Banach é usado para funções sublineares,especialmente quando formulando o teorema Hahn–Banach.

Em contraste, na ciência da computação, uma função $f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R}$ é chamado sublinear se $\lim _{n\to \infty }f(n)/n=0$ ou $f(n)\in o(n)$ em notação assintótica (observe as pequenas $o$ ) Formalmente, $f(n)\in o(n)$ se e somente se, para qualquer dado $c>0$, existe um $n_{0}$ de tal modo que $f(n)<c\cdot n$ para $n\geq n_{0}.$ Ou seja, $f$ cresce mais lentamente do que qualquer função linear. Os dois significados não devem ser confundidos: enquanto uma função de Banach é convexa, quase o oposto é verdadeiro para funções de crescimento sublinear: todas as funções $f(n)\in o(n)$ pode ser delimitado por uma função côncava do crescimento sublinear.

Exemplos

• Toda (semi-) norma é uma função sublinear. O oposto não é verdadeiro, porque (semi-) normas podem ter seu espaço vetorial de domínio sobre qualquer campo (não necessariamente ordenado) e devem ter $\mathbb {R}$ como seu codomain.

Propriedades

• Toda função sublinear é uma funcional convexa .

Operadores

O conceito pode ser estendido a operadores homogêneos e subaditivos. Isso requer apenas que o codomain seja, digamos, um espaço vetorial ordenado para entender as condições.