Grupo de permutação primitivo

Em matemática, um grupo de permutação G que atua em um conjunto finito não vazio X é chamado de primitivo se G atuar transitivamente em X e as únicas partições que a ação de G preserva são as partições triviais em um único conjunto ou em conjuntos de um único |X|. Caso contrário, se G for transitivo e preservar uma partição não trivial, G será chamada de imprimitivo.

Embora os grupos de permutação primitivos sejam transitivos, nem todos os grupos de permutação transitivos são primitivos. O exemplo mais simples é o grupo de Klein agindo nos vértices de um quadrado, que preserva a partição em diagonais. Por outro lado, se um grupo de permutação preserva apenas partições triviais, ele é transitivo, exceto no caso do grupo trivial que atua em um conjunto de dois elementos. Isso ocorre porque, para uma ação não transitiva, ou as órbitas de G formam uma partição não trivial preservada por G ou a ação do grupo é trivial e, nesse caso, todas as partições não triviais de X (que existe para |X| ≥ 3) são preservadas por G.

Essa terminologia foi introduzida por Évariste Galois em sua última carta, na qual ele usou o termo francês équation primitive para uma equação cujo grupo de Galois é primitivo.^[1]

Propriedades

Na mesma carta em que introduziu o termo “primitivo”, Galois apresentou o seguinte teorema:^[2]

Se G for um grupo primitivo solucionável atuando em um conjunto finito X, então a ordem de X é uma potência de um número primo p. Além disso, X pode ser identificado com um espaço afim sobre o campo finito com p elementos, e G atua em X como um subgrupo do grupo afim.

Se o conjunto X no qual G atua for finito, sua cardinalidade será chamada de grau de G.

Um corolário desse resultado de Galois é que, se $p$ for um número primo ímpar, então a ordem de um grupo transitivo solucionável de grau $p$ é um divisor de $p(p-1).$ De fato, todo grupo transitivo de grau primo é primitivo (já que o número de elementos de uma partição fixado por $G$ deve ser um divisor de $p$ ) e $p(p-1)$ é a cardinalidade do grupo afim de um espaço afim com elementos $p$ .

Segue-se que, se $p$ for um número primo maior que 3, o grupo simétrico e o grupo alternante de grau $p$ não são solucionáveis, pois sua ordem é maior que $p(p-1).$ O teorema de Abel-Ruffini resulta disso e do fato de que há polinômios com um grupo Galois simétrico.

Uma definição equivalente de primitividade se baseia no fato de que toda ação transitiva de um grupo G é isomórfica a uma ação decorrente da ação canônica de G no conjunto G/H de coclasses para H, um subgrupo de G. Uma ação de grupo é primitiva se for isomórfica a G/H para um subgrupo máximo H de G e imprimitiva caso contrário (ou seja, se houver um subgrupo próprio K de G do qual H seja um subgrupo próprio). Essas ações imprimitivas são exemplos de representações induzidas.

Os números de grupos primitivos de pequeno grau foram declarados por Robert Carmichael em 1937:

Grau	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Número	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	(sequência A000019 na OEIS)

Há um grande número de grupos primitivos de grau 16. Como Carmichael observa, todos esses grupos, exceto o grupo simétrico e alternado, são subgrupos do grupo afim no espaço de 4 dimensões sobre o campo finito de 2 elementos.

Exemplos

Considerando o grupo simétrico $S_{3}$ agindo no conjunto $X=\{1,2,3\}$ e a permutação

\eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.

Ambos $S_{3}$ e o grupo gerado pelo $\eta$ são primitivos.

Agora considere o grupo simétrico $S_{4}$ agindo no conjunto $\{1,2,3,4\}$ e a permutação

\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.

O grupo gerado por $\sigma$ , pois a partição $(X_{1},X_{2})$ onde $X_{1}=\{1,3\}$ e $X_{2}=\{2,4\}$ é preservado sob $\sigma$ , isto é, $\sigma (X_{1})=X_{2}$ e $\sigma (X_{2})=X_{1}$ .

Todo grupo transitivo de grau primo é primitivo
O grupo simétrico $S_{n}$ agindo no conjunto $\{1,\ldots ,n\}$ é primitivo para cada n e o grupo altenante $A_{n}$ agindo no set $\{1,\ldots ,n\}$ é primitivo para todo n > 2.

Referências

↑ «La lettre testament | Bicentenaire Galois» (em francês). Consultado em 1 de junho de 2024
↑ Galois usou uma terminologia diferente, porque a maior parte da terminologia nesta declaração foi introduzida posteriormente, em parte para esclarecer os conceitos introduzidos por Galois.

Roney-Dougal, Colva M. The primitive permutation groups of degree less than 2500, Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154–183.
The GAP Data Library "Primitive Permutation Groups".
Carmichael, Robert D., Introduction to the Theory of Groups of Finite Order. Ginn, Boston, 1937. Reprinted by Dover Publications, New York, 1956.
Todd Rowland. «Primitive Group Action». MathWorld (em inglês)

[1] «La lettre testament | Bicentenaire Galois» (em francês). Consultado em 1 de junho de 2024

[2] Galois usou uma terminologia diferente, porque a maior parte da terminologia nesta declaração foi introduzida posteriormente, em parte para esclarecer os conceitos introduzidos por Galois.

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