Hexadecácoro

Hexadecácoro
Diagrama Schlegel
Tipo	Polítopo regular
Células	16 {3,3}
Faces	32 {3}
Arestas	24
Vértices	8
Figura de vértice	(Octaedro)
Símbolo de Schläfli	{3,3,4}
Polígono de Petrie	Octágono
Diagrama Coxeter-Dynkin
Grupo de simetria	BC₄, [3,3,4], ordem 384 D₄, ordem 192
Dual	Tesserato
Propriedades	convexo, isogonal, isotoxal, isoedral, quasiregular

O Hexadecácoro é um polícoro (tipo de polítopo quadridimensional) delimitado por 16 faces tetraédricas. É um dos 6 polítopos regulares convexos de 4 dimensões descritos pela primeira vez pelo matemático suíço Ludwig Schläfli em meados do Século XIX. Também é conhecido como C₁₆ (derivado da denominação 16-cell em inglês), e hexadecaedroide. ^[1]

O hexadecácoro regular pertence a uma família infinita de polítopos, chamados de ortoplexos. Seu polítopo dual é o Tesserato (4-cubo). Possui 16 células, assim como o tesserato tem 16 vértices. É uma forma regular formada por 16 tetraedros e é análogo ao tetraedro em 3 dimensões e ao triângulo em duas. ^[2]^[3]

Geometria

É delimitado por 16 células, sendo todas tetraedros regulares. Ele tem 32 faces triangulares, 24 arestas e 8 vértices. Os oito vértices do hexadecácoro são:

(\pm 1,0,0,0),(0,\pm 1,0,0),(0,0,\pm 1,0),(0,0,0,\pm 1).

Todos os vértices são conectados por arestas, exceto os pares opostos. O símbolo de Schläfli para o hexadecácoro é {3,3,4}. Sua figura de vértice é o octaedro regular. Há oito tetraedros, 12 triângulos e seis arestas convergindo em cada vértice. Há quatro tetraedros e quatro triângulos se encontrando em cada extremidade. Pode-se decompor o hexadecácoro em duas disjunções como cadeias de 8 tetraedros cada, com 4 arestas. Cada cadeia A célula 16 pode ser decomposto em dois disjuntos como cadeias de round oito tetraedros cada, quatro bordas longas. Cada cadeia, quando esticada em linha reta, forma uma hélice de Boerdijk-Coxeter. Esta decomposição pode ser visto em um 4-4 duoantiprisma a partir da construção do hexadecácoro: ou , símbolo de Schläfli {2}⨂{2} ou s{2}s{2}, simetria [[4,2⁺,4]], ordem 64. O hexadecácoro pode ser bisectado em duas pirâmides octaédricas,das quais compartilham uma nova base octaédrica através do centro do hexadecácoro. ^[4]

Imagens

Projeção estereográfica	uma projeção em 3D do hexadecácoro a partir de uma rotação simples.	O hexadecácoro tem duas construções de Wythoff, uma forma regular e uma forma alternada, mostrada aqui como uma planificação.

Projeções ortogonais

Projeções Ortogonais
Plano de Coxeter	B₄	B₃ / D₄ / A₂	B₂ / D₃
Grafo
Simetria diedral	[8]	[6]	[4]
Plano de Coxeter	F₄	A₃
Grafo
Simetria diedral	[12/3]	[4]

Tesselações

Pode-se tesselar o hexadecácoro em um espaço euclidiano quadridimensional com 16 células regulares, produzindo o chamado favo de mel hexadecacórico, tendo símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Consequentemente, cada uma das 16 células tem um ângulo diedral de 120°. ^[5] A tesselação dual, o favo de mel icositetracórico ({3,4,3,3}), é feito a partir do icositetrácoro (24-cell). Juntamente com o favo de mel tesserático ({4,3,3,4}), estas são as únicas pavimentações regulares em R ⁴. ^[6]. Cada hexadecácoro contém 16 vizinhos com os quais compartilha um tetraedro, 24 vizinhos com os quais compartilha apenas uma aresta e 72 vizinhos com os quais partilha apenas um único ponto.^[7]^[8]

Hélice de Boerdijk–Coxeter

Um hexadecácoro pode ser construído a partir de hélices de Boerdijk–Coxeter de 8 cadeias de tetraedros, cada uma se dobrada se tornando um anel quadridimensional. As 16 faces triangulares podem ser vistas em uma planificação 2D em um mosaico triangular, com 6 triângulos ao redor de cada vértice. As arestas em roxo representam o Polígono de Petrie do hexadecácoro. ^[9]^[10]

Projeções

Formatos de projeções do hexadecácoro.

A primeira projeção paralela das células do hexadecácoro no espaço 3D tem um formato cúbico. As células mais próximas e as mais distantes são projetadas em tetraedros inscritos dentro do cubo, o que corresponde a duas maneiras possíveis para inscrever um tetraedro regular em um cubo. Ao redor de cada um destes há 4 outros tetraedros (não regulares). As demais 6 células são projetadas nas faces quadradas do cubo. Nessa projeção, todas as bordas convergem para as faces cúbicas.^[11]

A primeira projeção em perspectiva das células do hexadecácoro no espaço 3D tem o formato de um tetraedro triakis. A disposição das células neste formato são semelhantes às da projeção paralela.

A projeção paralela dos vértices das células tem um formato octaédrico. Este octaedro pode ser dividido em 8 formas tetraédricas, por corte ao longo dos planos coordenados. Cada um destes é a imagem de um par de células presentes no hexadecácoro.

A primeira projeção das arestas das células tem um formato octaédrico encurtado, e a projeção paralela tem um formato bipiramidal hexagonal. ^[12]^[13]

Diagrama de Venn esférico

A projeção usual do hexadecácoro e suas 4 esferas que o intersectam (um diagrama de Venn de 4 dimensões) forma topologicamente um mesmo objeto no espaço 3D:

Construções simétricas

Há uma forma simétrica reduzida do hexadecácoro, chamada de demitesserato ou 4-demicubo, um membro da família dos demihipercubos. e representado por h{4,3,3}, e ou .

Há também um antiprisma tetraédrico que pode ser construído a partir de dois tetraedros paralelos em configuraç~eos duais, conectado com8 tetraedros. É representado por s{2,4,3}, e .

Também há o 4-ortótopo Snub representado por s{2^1,1,1}, e ou .Com o tesserato construído como um 4-4 duoprisma, o hexadecácoro pode ser visto com seu dual como a 4-4 duopirâmide. ^[14]

Nome	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli	Notação de Coxeter	Ordem
Hexadecácoro regular		{3,3,4}	[3,3,4]	384
Demitesserato	= =	h{4,3,3} {3,3^1,1}	[3^1,1,1] = [1⁺,4,3,3]	192
4-4 duoprisma alternado		2s{4,2,4}	[[4,2⁺,4]]	64
antiprisma tetraédrico		s{2,4,3}	[2⁺,4,3]	48
prisma quadrado alternado		sr{2,2,4}	[(2,2)⁺,4]	16
4-ortótopo Snub	=	s{2^1,1,1}	[2,2,2]⁺ = [2^1,1,1]⁺	8
4-fusil
		{3,3,4}	[3,3,4]	384
		{4}+{4} or 2{4}	[[4,2,4]] = [8,2⁺,8]	128
		{3,4}+{ }	[4,3,2]	96
		{4}+2{ }	[4,2,2]	32
		{ }+{ }+{ }+{ } or 4{ }	[2,2,2]	16

Relação de Euler

Para todo polítopo vale a relação de Euler:

V-A+F=C

Onde:

V é o número de vértices;
A é o número de arestas;
F é o número de faces;
C é o número de células.

No caso do hexadecácoro, temos:

8-24+32=16

Fórmulas relacionadas

Volume

A fórmula que descreve o volume do hexadecácoro em 4D é:

V_{4D}={\frac {a^{4}}{6}}

Área superficial

Existem 3 fórmulas que descrevem a área superficial do hexadecácoro, em 3D, 2D e 1D:

S_{3D}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\ a^{3}

S_{2D}=8{\sqrt {3}}\ a^{2}

S_{1D}=24\ a\,

Raio da esfera inscrita

O raio $\rho$ da esfera inscrita é:

\rho ={\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\,

Raio da esfera circunscrita

O raio $\rho$ da esfera circunscrita é:

r={\frac {a}{\sqrt {2}}}\,

Ver também

Referências

↑ Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life (1977), p.68 (em inglês)
↑ Actividades matemáticas
↑ [1]
↑ Se a matemática fosse minha, eu mandava ladrilhar.
↑ Coxeter, Regular polygons, p.293
↑ Aristóteles, Sobre o Céu, Livro III, Capítulo 8 [em linha]
↑ Hilton, Charles Howard (1888). «3». A New Era of Thought (em inglês). [S.l.: s.n.]
↑ «APRENDENDO TESSELAÇÕES DE FORMA LÚDICA (.pdf)» (PDF). sbem.com.br. 2007. Consultado em 5 de junho de 2011
↑ Dragões diapositivos
↑ «Polytopes». Consultado em 21 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 2 de julho de 2004
↑ [http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html The 16-cell (em inglês)
↑ T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
↑ «Compondo um plano com polígonos: Tesselações(.pdf)» (PDF). hamello.com.br. 2010. Consultado em 5 de junho de 2011 ^{[ligação inativa]}
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1_n1)

[1] Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life (1977), p.68 (em inglês)

[2] Actividades matemáticas

[3] [1]

[4] Se a matemática fosse minha, eu mandava ladrilhar.

[5] Coxeter, Regular polygons, p.293

[aristoteles.sobre.o.ceu.2-6] Aristóteles, Sobre o Céu, Livro III, Capítulo 8 [em linha]

[hilton.3-7] Hilton, Charles Howard (1888). «3». A New Era of Thought (em inglês). [S.l.: s.n.]

[8] «APRENDENDO TESSELAÇÕES DE FORMA LÚDICA (.pdf)» (PDF). sbem.com.br. 2007. Consultado em 5 de junho de 2011

[9] Dragões diapositivos

[10] «Polytopes». Consultado em 21 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 2 de julho de 2004

[11] [http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html The 16-cell (em inglês)

[12] T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900

[13] «Compondo um plano com polígonos: Tesselações(.pdf)» (PDF). hamello.com.br. 2010. Consultado em 5 de junho de 2011 ^{[ligação inativa]}

[14] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1_n1)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

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