Hiperbolicidade parcial

Em matemática, e especificamente na teoria dos sistemas dinâmicos, hiperbolicidade parcial é uma generalização do conceito de hiperbolicidade. Um difeomorfismo é dito parcialmente hiperbólico caso exista uma decomposição invariante do seu espaço tangente que satisfaz algumas propriedades de dominação. Além disto, a hiperbolicidade parcial é uma propriedade robusta, isto é, o conjunto de todos os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos sobre uma variedade compacta M formam um subconjunto aberto do espaço dos difeomorfismos suaves sobre M.

Definição

Sejam $M$ uma variedade suave e compacta e $f:M\rightarrow M$ um difeomorfismo de classe $C^{r}$, com $r\geq 1$. f é chamada de função parcialmente hiperbólica caso para todo ponto $x\in M$ existam distribuições E e F satisfazendo $T_{x}M=E(x)\oplus F(x)$, e

• d_xf(E(x))=E(f(x)), e d_xf(F(x))=F(f(x)) (invariância de E e F).

Além disto, existem constantes $0<\lambda <\mu$ e $C>0$ tais que, para todo n$\in \mathbb {N}$ e $x\in M$;

• $\|d_{x}f(v)\|\leq C\lambda ^{n}\|v\|$, se $v\in E(x)$, e
• $\|d_{x}f(v)\|\geq C^{-1}\mu ^{n}\|v\|$, se $v\in F(x)$.

Propriedades

• Caso $\lambda <1$, o subespaço E(x) é chamado de espaço estável, e é denotado por $E^{s}(x)$. Além disto, a distribuição $E^{s}$ é integrável, e as folhas resultantes são chamadas de folhas estáveis.
• Caso $\mu >1$, o subespaço F(x) é chamado de espaço instável, e é denotado por $E^{u}(x)$. Além disto, a distribuição $E^{s}$ é integrável, e as folhas resultantes são chamadas de folhas estáveis.
• É possível mostrar, que sobre uma variedade compacta M, os difeomorfismos de classe $C^{r}$ parcialmente hiperbólicos formam um subconjunto aberto do conjunto dos difeomorfismos de classe $C^{r}$ de M em M, onde $r\geq 1$.
• Brin mostrou que as distribuições E(x) e F são contínuas no sentido de Hölder.

Questões Importantes

Ao contrário do que ocorre no caso de um difeomorfismo hiperbólico, nem sempre um difeomorfismo parcialmente hiperbólico possui variedades invariantes para suas distribuições, isto é; as variedades integrais de E e F. No caso em que E possui codimensão 1, sabe-se que existe uma variedade invariante para E, apesar desta nem sempre ser única. Existe uma propriedade denominada "acessibilidade" que pode ser definida para um sistema parcialmente hiperbólico, e que no contexto dos difeomorfismos conservativos está relacionada a ergodicidade estável de uma aplicação parcialmente hiperbólica.

Referências

2. Pesin, Yakov, Lectures on partial hyperbolicity and stable ergodicity. Zurich lectures in advanced mathematics, (2000).

3 ScholarPedia: Hiperbolicidade Parcial, http://scholarpedia.org/article/Partial_Hyperbolicity.