Lema de Chow

Lema de Chow, em homenagem a Wei-Liang Chow, é um dos resultados fundamentais em geometria algébrica. Diz aproximadamente que um morfismo próprio está bastante próximo de ser um morfismo projetivo. Mais precisamente, uma versão afirma o seguinte:^[1]

Se

X

é um esquema que é próprio sobre um esquema Noetheriano base

S

, então existe uma variedade projetiva

S

-esquema

X'

e um

S

-morfismo sobrejetivo

f:X'\to X

que induz um isomorfismo

f^{-1}(U)\simeq U

para algum para algum aberto denso

U\subseteq X.

Prova

A prova aqui é padrão.^[2]

Redução ao caso de $X$ irredutível

Podemos primeiro reduzir ao caso em que $X$ é irredutível. Para começar, $X$ é noetheriano, pois é de tipo finito sobre uma base noetheriana. Portanto, ele tem um número finito de componentes irredutíveis $X_{i}$ , e afirmamos que para cada $X_{i}$ existe um esquema $S$ próprio irredutível $Y_{i}$ de modo que $Y_{i}\to X$ tenha uma imagem teórica de conjuntos $X_{i}$ e seja um isomorfismo no subconjunto denso aberto $X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}$ de $X_{i}$ . Para ver isso, defina $Y_{i}$ como a imagem teórica do esquema da imersão aberta.

X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.

Como $X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}$ é teoricamente definido noetheriano para cada $i$ , o mapa $X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X$ é quase compacto e podemos calcular esta imagem teórica do esquema afim localmente em $X$ , provando imediatamente as duas afirmações. Se pudermos produzir para cada $Y_{i}$ um esquema $S$ projetivo $Y_{i}'$ como no enunciado do teorema, então podemos tomar $X'$ será a união disjunta $\coprod Y_{i}'$ e $f$ será a composição $\coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X$ : este mapa é projetivo e um isomorfismo sobre um conjunto denso e aberto de $X$ , enquanto $\coprod Y_{i}'$ é um $S$ projetivo, pois é uma união finita de esquemas $S$ projetivos. Como cada $Y_{i}$ é próprio sobre $S$ , completamos a redução ao caso $X$ irredutível.

$X$ pode ser coberto por um número finito de esquemas $S$ quase-projetivos

A seguir, mostraremos que $X$ pode ser coberto por um número finito de subconjuntos abertos $U_{i}$ de modo que cada $U_{i}$ seja quase projetivo sobre $S$ . Para fazer isso, podemos, por quase compactação, primeiro cobrir $S$ com um número finito de aberturas afins $S_{j}$ , e então cobrir a pré-imagem de cada $S_{j}$ em $X$ por um número finito de aberturas afins $X_{jk}$ cada uma com uma imersão fechada em $\mathbb {A} _{S_{j}}^{n}$ desde $X\to S$ é de tipo finito e, portanto, quase compacto. Compondo este mapa com as imersões abertas $\mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}$ e $\mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}$ , vemos que cada $X_{ij}$ é um subesquema fechado de um subesquema aberto de $\mathbb {P} _{S}^{n}$ . Como $\mathbb {P} _{S}^{n}$ é noetheriano, todo subesquema fechado de um subesquema aberto também é um subesquema aberto de um subesquema fechado e, portanto, cada $X_{ij}$ é quase projetivo sobre $S$ .

Construção de $X'$ e $f:X'\to X$

Agora suponha que $\{U_{i}\}$ seja uma cobertura aberta finita de $X$ por esquemas $S$ quase-projetivos, com $\phi _{i}:U_{i}\to P_{i}$ uma imersão aberta em um esquema $S$ projetivo. Defina $U=\cap _{i}U_{i}$ , que não é vazio, pois $X$ é irredutível. As restrições do $\phi _{i}$ para $U$ definem um morfismo

\phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}

de modo que $U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}$ , onde $U\to U_{i}$ é a injeção canônica e $p_{i}:P\to P_{i}$ é a projeção. Deixando $j:U\to X$ denotar a imersão aberta canônica, definimos $\psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P$ , que afirmação é uma imersão. Para ver isso, observe que esse morfismo pode ser fatorado como o morfismo do gráfico $U\to U\times _{S}P$ (que é uma imersão fechada já que $P\to S$ é separado) seguida pela imersão aberta $U\times _{S}P\to X\times _{S}P$ ; como $X\times _{S}P$ é noetheriano, podemos aplicar a mesma lógica de antes para ver que podemos trocar a ordem das imersões abertas e fechadas.

Agora seja $X'$ a imagem teórica do esquema de $\psi$ , e fatore $\psi$ como

\psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P

onde $\psi '$ é uma imersão aberta e $h$ é uma imersão fechada. Sejam $q_{1}:X\times _{S}P\to X$ e $q_{2}:X\times _{S}P\to P$ as projeções canônicas. Definir

f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,

g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.

Mostraremos que $X'$ e $f$ satisfazem a conclusão do teorema.

Verificação das propriedades de $X'$ e $f$

Para mostrar que $f$ é surjectiva, notamos primeiro que é própria e portanto fechada. Como a sua imagem contém o conjunto aberto denso $U\subset X$ , vemos que $f$ tem de ser sobrejetiva. É também fácil ver que $f$ induz um isomorfismo em $U$ : podemos apenas combinar os factos de que $f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)$ e $\psi$ é um isomorfismo sobre a sua imagem, pois $\psi$ factoriza como a composição de uma imersão fechada seguida de uma imersão aberta $U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P$ . Resta mostrar que $X'$ é projetivo sobre $S$ .

Fá-lo-emos mostrando que $g:X'\to P$ é uma imersão. Definimos as seguintes quatro famílias de subesquemas abertos:

V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}

W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P

U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'

U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.

Como o $U_{i}$ cover $X$ , o $U_{i}'$ cover $X'$ , e queremos mostrar que o $U_{i}''$ também cobre $X'$ . Faremos isso mostrando que $U_{i}'\subset U_{i}''$ para todo $i$ . Basta mostrar que $p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}$ é igual a $\phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}$ como mapa de espaços topológicos. Substituindo $U_{i}'$ pela sua redução, que tem o mesmo espaço topológico subjacente, temos que os dois morfismos $(U_{i}')_{red}\to P_{i}$ são ambos extensões de o mapa subjacente do espaço topológico $U\to U_{i}\to P_{i}$ , então pelo lema reduzido a separado eles devem ser iguais, pois $U$ é topologicamente denso em $U_{i}$ . Portanto $U_{i}'\subset U_{i}''$ para todo $i$ e a afirmação é comprovada. O resultado é que os $W_{i}$ cover $g(X')$ , e podemos verificar que $g$ é uma imersão verificando que $g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}$ é uma imersão para todos os $i$ . Para isso, considere o morfismo.

O resultado é que os $W_{i}$ cobrem $g(X')$ , e podemos verificar que $g$ é uma imersão verificando que $g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}$ é uma imersão para todos os $i$ . Para isso, considere o morfismo

u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.

Como $X\to S$ é separado, o morfismo do grafo $\Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}$ é uma imersão fechada e o grafo $T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})$ é um subesquema fechado de $X\times _{S}W_{i}$ ; se mostrarmos que $U\to X\times _{S}W_{i}$ fatora através deste gráfico (onde consideramos $U\subset X'$ através da nossa observação de que $f$ é um isomorfismo sobre $f^{-1}(U)$ anterior), então o mapa de $U_{i}''$ também deve fatorar este gráfico pela construção do esquema- imagem teórica. Como a restrição de $q_{2}$ a $T_{i}$ é um isomorfismo de $W_{i}$ , a restrição de $g$ a $U_{i}''$ será uma imersão em $W_{i}$ , e nossa afirmação será comprovada. Seja $v_{i}$ a injeção canônica $U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}$ ; temos que mostrar que existe um morfismo $w_{i}:U\subset X'\to W_{i}$ tal que $v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}$ . Pela definição do produto de fibra, basta provar que $q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}$ , ou identificando $U\subset X$ and $U\subset X'$ , que $q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi$ . Entretanto $q_{1}\circ \psi =j$ and $q_{2}\circ \psi =\phi$ , então a conclusão desejada segue da definição de $\phi :U\to P$ e $g$ é uma imersão. Como $X'\to S$ é próprio, qualquer morfismo $S$ de $X'$ é fechado e, logo, $g:X'\to P$ é uma imersão fechada, então $X'$ é projetivo. $\blacksquare$