Limite superior e limite inferior

Em matemática, sobretudo na análise, o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda sequência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior, não obstante, estão sempre bem definidos.

Uma ilustração dos limites superior e inferior. A sequência x_n é mostrada em azul.

Quando uma sequência é convergente, o limite, o limite inferior e o limite superior coincidem. Reciprocamente, uma sequência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.

Também se definem limite superior e limite inferior para sequências de conjuntos.

Notação e definição

Considere uma sequência $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,$ de números reais qualquer. Defina a sequência auxiliar:

$A_{N}=\sup _{n\geq N}a_{n}\,$

A sequência $A_{N}\,$ é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma sequência monótona, seu limite existe (podendo ser infinito se cada $A_{N}\,$ for infinito) e é o ínfimo da sequência.

O limite superior de $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,$ é então definido o limite da sequência $A_{N}\,$. Denota-se:

• $\limsup _{n\to \infty }a_{n}={\overline {\lim _{n\to \infty }}}a_{n}=\inf _{N\in \mathbb {N} }\sup _{n\geq N}a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sup _{n\geq N}a_{n}\,$

E, de forma perfeitamente análoga, define-se o limite inferior:

• $\liminf _{n\to \infty }a_{n}={\underline {\lim _{n\to \infty }}}a_{n}=\sup _{N\in \mathbb {N} }\inf _{n\geq N}a_{n}=\lim _{N\to \infty }\inf _{n\geq N}a_{n}\,$

Propriedades

Sejam $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,$ e $\{b_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,$ sequências de números reais, então valem as afirmações:

• $\liminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\,$
• $\liminf _{n\to \infty }-a_{n}=-\limsup _{n\to \infty }a_{n}\,$
• $\limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\limsup _{n\to \infty }b_{n}\,$
• $\liminf _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\liminf _{n\to \infty }b_{n}\,$
• Seja $\{a_{n(k)}\}$ uma subsequência de $\{a_{n}\}$ que possua limite, então $\lim _{k\to \infty }\left(a_{n(k)}\right)\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\,$

Limite superior e inferior de uma sequência de conjuntos

Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida, é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma sequência de conjuntos.

Se $E_{n}\,$ é uma sequência de conjuntos, então define-se:

• O limite superior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos $E_{n}\,$.
• O limite inferior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um dos $E_{n}\,$ exceto por um número finito deles.

Pode-se mostrar que estas definições coincidem com as seguintes:

• $\limsup _{n\to \infty }E_{n}={\overline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}\,$
• $\liminf _{n\to \infty }E_{n}={\underline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{k=n}^{\infty }E_{k}\,$

É sempre verdade que $\liminf _{n\to \infty }E_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }E_{n}\,$. Quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:

$\lim _{n\to \infty }E_{n}=\liminf _{n\to \infty }E_{n}=\limsup _{n\to \infty }E_{n}\,$