Média aritmética

Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que viveu por volta de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média.

Um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro;^[1] em notação moderna, sendo o primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0):

média aritmética: $x-m=m-y$
média geométrica: ${\frac {m}{y}}={\frac {x}{m}}$
média harmônica: ${\frac {x-m}{x}}={\frac {m-y}{y}}$

Após algumas transformações, chega-se às fórmulas:

média aritmética: $m={\frac {x+y}{2}}$
média geométrica: $m={\sqrt {xy}}$
média harmônica: ${\frac {1}{m}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}})$

Tipos de média aritmética

Há dois tipos de média aritmética - simples ou ponderada.

Média aritmética simples

A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo ${\bar {x}}.$ Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

${\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+....+x_{n}}{n}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

Média aritmética ponderada

Consideremos uma coleção formada por n números: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ de forma que cada um esteja sujeito a um peso^{[nota 1]}, respectivamente, indicado por: $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}.$ A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é:

${\bar {p}}={\frac {x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+....+x_{n}p_{n}}{p_{1}+p_{2}+....+p_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}p_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}}}$ Obviamente, a média aritmética e a média ponderada podem ser generalizadas para estruturas algébricas mais complexas; a única restrição é que a soma dos pesos seja um número invertível (em particular, não pode ser zero).

Caso todos os valores $x$ tenham o mesmo peso $p$ , podemos simplificar a média ponderada em uma média simples isolando $p$ :

${\bar {p}}={\frac {x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+....+x_{n}p_{n}}{p_{1}+p_{2}+....+p_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}p_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}}}$ ${\bar {p}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}p_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}p}}{\sum _{i=1}^{n}{p}}}={\frac {p\times \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}{n\times p}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

Exemplos

Um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas. A sua média será ${\frac {5+7+9+10}{4}}=7,75$ ou seja ${\frac {31}{4}}=7,75$
Um aluno fez um teste (peso 1) e uma prova (peso 2), tirando 10 no teste e 4 na prova. A sua média (ponderada) será ${\frac {10\cdot 1+4\cdot 2}{1+2}}={\frac {10+8}{3}}=6.$ Logo, o resultado da média aritmética ponderada para este exemplo é 6. Se o teste e a prova tivessem mesmo peso, e não importa qual o valor do peso, importando apenas a relação entre os pesos, a média ponderada aritmética seria sempre 7. Isto é, se o aluno fizesse um teste (peso 3) e uma prova (peso 3), obtendo respectivamente a mesma pontuação anterior 10 e 4, teríamos: ${\frac {10\cdot 3+4\cdot 3}{3+3}}={\frac {30+12}{6}}=7.$ O resultado para pesos iguais será sempre "7". Veja: ${\frac {30+12}{6}}=7.$
Um triângulo no plano tem vértices dados pelas coordenadas cartesianas (2, 1), (4, -1) e (3, 6). O seu baricentro é a média dos vértices, ou seja $(3,2).$