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Maior número primo conhecido

O maior número primo conhecido é 2136 279 841 − 1, que possui 41 024 320 algaritmos quando escrito na base 10. Foi descoberto em outubro de 2024 por um computador oferecido por Luke Durant para o Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).[1]

Gráfico do número de dígitos no maior primo conhecido por ano, desde o surgimento do computador eletrônico. Observe que a escala vertical é logarítmica.

Euclides demonstrou que há infinitos números primos através do Teorema de Euclides. Então, há sempre um número primo maior do que o maior primo conhecido. Muitos matemáticos e hobbistas procuram por números primos grandes. A Electronic Frontier Foundation oferece diversos prêmios por números primos recordes.[2]

A implementação do teste de primalidade de Lucas–Lehmer por meio da transformada rápida de Fourier para números de Mersenne é rápida se comparada a outros testes de primalidade conhecidos para outros tipos de números. Devido a isso e também ao interesse histórico em primos de Mersenne, muitos dos maiores primos conhecidos são primos de Mersenne. Até Agosto de 2024, os seis primeiros maiores números primos eram de Mersenne.[3]

O uso de computadores eletrônicos acelerou as descobertas e todos os recordes foram encontrados desde 1951. O recorde passou um milhão de dígitos em 1999, ganhando seu descobridor um prêmio de 50 mil dólares.[4] Em 2008 o recorde passou os 10 milhões de dígitos, sendo o descobridor premiado com 100 mil dólares.[5] Ainda existem premiações de 150 mil dólares para o primeiro número com, no mínimo, 100 milhões de dígitos decimais e 250 mil dólares ao número com 1 bilhão de dígitos.[6]

História

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Carimbo comemorativo utilizado pelo Departamento de Matemática da UIUC após a demonstração de que M11213 é um número primo.

A tabela a seguir lista os maiores números primos conhecidos em ordem crescente. Aqui, Mp = 2p − 1 é um primo de Mersenne com exponente p.[7] O detentor do recorde mais longo conhecido foi M19 = 524 287, que foi o maior número primo conhecido por 144 anos. Não há registros conhecidos antes de 1456.

Número Expansão decimal
(parcial para números > M1000) 		Dígitos Ano descoberto Descoberto por
M13 8 191 4 1456 Anônimo
M17 131 071 6 1588 Pietro Cataldi
M19 524 287 6 1588 Pietro Cataldi
  6 700 417 7 1732 Leonhard Euler?
Euler não publicou explicitamente a primalidade de 6 700 417, mas as técnicas que ele havia usado para fatorar 232 significavam que ele já havia feito a maior parte do trabalho necessário para provar isso, e alguns especialistas acreditam que ele tinha conhecimento desse fato.[8]
M31 2 147 483 647 10 1772 Leonhard Euler
  999 999 000 001 12 1851 Incluído (mas com um ponto de interrogação) em uma lista de números primos por Looff. Devido à sua incerteza, alguns não consideram isso como um registro.
  67 280 421 310 721 14 1855 Thomas Clausen (mas nenhuma prova foi fornecida).
M127 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 39 1876 Édouard Lucas
  20 988 936 657 440 586 486 151 264 256 610 222 593 863 921 44 1951 Aimé Ferrier com uma calculadora mecânica; o maior número primo encontrado sem auxílio de um computador.
180 × (M127)2 + 1

5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221

79 1951 J. C. P. Miller e D. J. Wheeler[9]
Utilizando o computador EDSAC de Cambridge.
M521

6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151

157 1952 Raphael M. Robinson
M607

531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127

183 1952 Raphael M. Robinson
M1279 104079321946...703168729087 386 1952 Raphael M. Robinson
M2203 147597991521...686697771007 664 1952 Raphael M. Robinson
M2281 446087557183...418132836351 687 1952 Raphael M. Robinson
M3217 259117086013...362909315071 969 1957 Hans Riesel
M4423 285542542228...902608580607 1 332 1961 Alexander Hurwitz
M9689 478220278805...826225754111 2 917 1963 Donald B. Gillies
M9941 346088282490...883789463551 2 993 1963 Donald B. Gillies
M11213 281411201369...087696392191 3 376 1963 Donald B. Gillies
M19937 431542479738...030968041471 6 002 1971 Bryant Tuckerman
M21701 448679166119...353511882751 6 533 1978 Laura A. Nickel e Landon Curt Noll[10]
M23209 402874115778...523779264511 6 987 1979 Landon Curt Noll[10]
M44497 854509824303...961011228671 13 395 1979 David Slowinski e Harry L. Nelson[10]
M86243 536927995502...709433438207 25 962 1982 David Slowinski[10]
M132049 512740276269...455730061311 39 751 1983 David Slowinski[10]
M216091 746093103064...103815528447 65 050 1985 David Slowinski[10]
391581 × 2216193 - 1 148140632376...836387377151 65 087 1989 O grupo "Amdahl Six": John Brown, Landon Curt Noll, B. K. Parady, Gene Ward Smith, Joel F. Smith, Sergio E. Zarantonello.[11][12]
Maior número primo não-Mersenne que era o maior número primo conhecido quando foi descoberto.
M756839 174135906820...328544677887 227 832 1992 David Slowinski e Paul Gage[10]
M859433 129498125604...243500142591 258 716 1994 David Slowinski e Paul Gage[10]
M1257787 412245773621...976089366527 378 632 1996 David Slowinski e Paul Gage[10]
M1398269 814717564412...868451315711 420 921 1996 GIMPS, Joel Armengaud[13]
M2976221 623340076248...743729201151 895 932 1997 GIMPS, Gordon Spence[14]
M3021377 127411683030...973024694271 909 526 1998 GIMPS, Roland Clarkson[15]
M6972593 437075744127...142924193791 2 098 960 1999 GIMPS, Nayan Hajratwala[16]
M13466917 924947738006...470256259071 4 053 946 2001 GIMPS, Michael Cameron[17]
M20996011 125976895450...762855682047 6 320 430 2003 GIMPS, Michael Shafer[18]
M24036583 299410429404...882733969407 7 235 733 2004 GIMPS, Josh Findley[19]
M25964951 122164630061...280577077247 7 816 230 2005 GIMPS, Martin Nowak[20]
M30402457 315416475618...411652943871 9 152 052 2005 GIMPS, professores da Universidade de Central Missouri Curtis Cooper e Steven Boone[21]
M32582657 124575026015...154053967871 9 808 358 2006 GIMPS, Curtis Cooper e Steven Boone[22]
M43112609 316470269330...166697152511 12 978 189 2008 GIMPS, Edson Smith[23]
M57885161 581887266232...071724285951 17 425 170 2013 GIMPS, Curtis Cooper[24]
M74207281 300376418084...391086436351 22 338 618 2016 GIMPS, Curtis Cooper[25]
M77232917 467333183359...069762179071 23 249 425 2017 GIMPS, Jonathan Pace[26]
M82589933 148894445742...325217902591 24 862 048 2018 GIMPS, Patrick Laroche[27]
M136279841 881694327503...219486871551 41 024 320 2024 GIMPS, Luke Durant[1]

O GIMPS encontrou os dezesseis últimos registros (todos eles números primos de Mersenne) em computadores comuns operados por participantes ao redor do mundo.

Os maiores números primos conhecidos

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Uma lista com os 5 mil maiores números primos conhecidos é mantido pelo PrimePages,[28] dos quais os vinte e um maiores são listados abaixo.[29]

Posição Números Descoberto Dígitos Método Ref
1 2136279841 − 1 12 de outubro de 2024 41 024 320 Mersenne [1]
2 282589933 − 1 7 de dezembro de 2018 24 862 048 Mersenne [27]
3 277232917 − 1 26 de dezembro de 2017 23 249 425 Mersenne [26]
4 274207281 − 1 7 de janeiro de 2016 22 338 618 Mersenne [25]
5 257885161 − 1 25 de janeiro de 2013 17 425 170 Mersenne [24]
6 243112609 − 1 23 de agosto de 2008 12 978 189 Mersenne [23]
7 242643801 − 1 4 de junho de 2009 12 837 064 Mersenne [30]
8 Φ3(−5166931048576) 2 de outubro de 2023 11 981 518 Único generalizado [31]
9 Φ3(−4658591048576) 31 de maio de 2023 11 887 192 Único generalizado [32]
10 237156667 − 1 6 de setembro de 2008 11 185 272 Mersenne [23]
11 232582657 − 1 4 de setembro de 2006 9 808 358 Mersenne [22]
12 10223 × 231172165 + 1 31 de outubro de 2016 9 383 761 Proth [33]
13 230402457 − 1 15 de dezembro de 2005 9 152 052 Mersenne [21]
14 4 × 511786358 + 1 1 de outubro de 2024 8 238 312 Outros métodos [34]
15 225964951 − 1 18 de fevereiro de 2005 7 816 230 Mersenne [20]
16 69 × 224612729 − 1 13 de agosto de 2024 7 409 102 Outros métodos [35]
17 224036583 − 1 15 de maio de 2004 7 235 733 Mersenne [19]
18 107347 × 223427517 − 1 4 de agosto de 2024 7 052 391 Outros métodos [36]
19 3 × 222103376 − 1 30 de setembro de 2024 6 653 780 Tabite [37]
20 19637361048576 + 1 24 de setembro de 2022 6 598 776 Fermat generalizado [38]

Ver também

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Referências

  1. ↑ a b c «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2136,279,841-1». Mersenne Research, Inc. 21 de outubro de 2024. Consultado em 21 de outubro de 2024 
  2. ↑ Electronic Frontier Foundation, Cooperative Computing Awards Arquivado em 4 de junho de 2004, no Wayback Machine..
  3. ↑ «"Largest Known Primes" - Maiores números primos conhecidos.». PrimePages 
  4. ↑ Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize.
  5. ↑ Electronic Frontier Foundation, Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize.
  6. ↑ «"EFF Cooperative Computing Awards" - Prêmios EFF para computação cooperativa». Consultado em 12 de agosto de 2024 
  7. ↑ Caldwell, Chris. «The Largest Known Prime by Year: A Brief History». Prime Pages. Consultado em 19 de março de 2023 
  8. ↑ Edward Sandifer, C. (19 de novembro de 2014). How Euler Did Even More. [S.l.]: The Mathematical Association of America. ISBN 9780883855843 
  9. ↑ Miller, J. (1951). «Large Prime Numbers». Nature. 168 (838). doi:10.1038/168838b0 
  10. ↑ a b c d e f g h i Noll, Landon Curt. «Large Prime Number Found by SGI/Cray Supercomputer» 
  11. ↑ «Letters to the Editor». The American Mathematical Monthly. 97 (3): 214. 1990. JSTOR 2324686. Consultado em 22 de maio de 2020 
  12. ↑ «Proof-code: Z». Prime Pages 
  13. ↑ «GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 21,398,269-1 is now the Largest Known Prime». Mersenne Research, Inc. 23 de novembro de 1996. Consultado em 23 de outubro de 2024 
  14. ↑ «GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 22,976,221-1 is now the Largest Known Prime». Mersenne Research, Inc. 1 de setembro de 1997. Consultado em 23 de outubro de 2024 
  15. ↑ «GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 23,021,377-1 is now the Largest Known Prime». Mersenne Research, Inc. 30 de junho de 1999. Consultado em 23 de outubro de 2024 
  16. ↑ «GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime, 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime». Mersenne Research, Inc. 30 de junho de 1999. Consultado em 23 de outubro de 2024 
  17. ↑ «GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime». Mersenne Research, Inc. 6 de dezembro de 2001. Consultado em 23 de outubro de 2024 
  18. ↑ «GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime». Mersenne Research, Inc. 2 de dezembro de 2003. Consultado em 23 de outubro de 2024 
  19. ↑ a b «GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 28 de maio de 2004. Consultado em 29 de setembro de 2017 
  20. ↑ a b «GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 27 de fevereiro de 2005. Consultado em 29 de setembro de 2017 
  21. ↑ a b «GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 24 de dezembro de 2005. Consultado em 29 de setembro de 2017 
  22. ↑ a b «GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 11 de setembro de 2006. Consultado em 29 de setembro de 2017 
  23. ↑ a b c «GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 15 de setembro de 2008. Consultado em 29 de setembro de 2017 
  24. ↑ a b «GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 5 de fevereiro de 2013. Consultado em 29 de setembro de 2017 
  25. ↑ a b «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. Consultado em 29 de setembro de 2017 
  26. ↑ a b «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. Consultado em 3 de janeiro de 2018 
  27. ↑ a b «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1». Mersenne Research, Inc. 21 de dezembro de 2018. Consultado em 21 de dezembro de 2018 
  28. ↑ «The Prime Database: The List of Largest Known Primes Home Page». t5k.org/primes. Consultado em 19 de março de 2023 
  29. ↑ «The Top Twenty: Largest Known Primes». Consultado em 19 de março de 2023 
  30. ↑ «GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime, 242,643,801-1 is newest, but not the largest, known Mersenne Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 12 de abril de 2009. Consultado em 29 de setembro de 2017 
  31. ↑ «PrimePage Primes: Phi(3, - 516693^1048576)». t5k.org 
  32. ↑ «PrimePage Primes: Phi(3, - 465859^1048576)». t5k.org 
  33. ↑ «PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject» (PDF). primegrid.com. PrimeGrid. Consultado em 30 de setembro de 2017 
  34. ↑ «4 × 511786358 + 1». t5k.org. PrimePages. 1 de outubro de 2024. Consultado em 5 de outubro de 2024 
  35. ↑ «69 × 224612729 − 1». t5k.org. PrimePages. 13 de agosto de 2024. Consultado em 29 de agosto de 2024 
  36. ↑ «107347 × 223427517 − 1». t5k.org. PrimePages. 4 de agosto de 2024. Consultado em 25 de agosto de 2024 
  37. ↑ «PrimeGrid's 321 Prime Search» (PDF). primegrid.com [ligação inativa] 
  38. ↑ «PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search» (PDF). primegrid.com. PrimeGrid. Consultado em 7 de outubro de 2022 

Ligações externas

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