Matriz de adjacência

Uma matriz de adjacência é uma das formas de se representar um grafo.

Dado um grafo G com n vértices, podemos representá-lo em uma matriz n x n A(G)=[a_ij] (ou simplesmente A). A definição precisa das entradas da matriz varia de acordo com as propriedades do grafo que se deseja representar, porém de forma geral o valor a_ij guarda informações sobre como os vértices v_i e v_j estão relacionados (isto é, informações sobre a adjacência de v_i e v_j).

Para representar um grafo não direcionado, simples e sem pesos nas arestas, basta que as entradas a_ij da matriz A contenham 1 se v_i e v_j são adjacentes e 0 caso contrário. Se as arestas do grafo tiverem pesos, a_ij pode conter, ao invés de 1 quando houver uma aresta entre v_i e v_j, o peso dessa mesma aresta.

Por exemplo, a matriz de adjacência do grafo ao lado é

$A={\begin{bmatrix}1&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\\end{bmatrix}}$

Em grafos não direcionados, as matrizes de adjacência são simétricas ao longo da diagonal principal - isto é, a entrada a_ij é igual à entrada a_ji. Matrizes de adjacência de grafos direcionados, no entanto, não são assim. Num digrafo sem pesos, a entrada a_ij da matriz é 1 se há um arco de v_i para v_j e 0 caso contrário.

Um resultado interessante ocorre quando consideramos a potência k da matriz de adjacência, ou seja, o produto

${{A^{k}=} \atop {\ }}{{\underbrace {A\times \cdots \times A} } \atop k}.$

Antes de apresentar o resultado, vamos definir um percurso em um grafo G. Um percurso corresponde a uma sequência, finita e não vazia, de vértices do grafo, na qual (v₀, v₁, ..., v_i, ..., v_k-1, v_k) é tal que, para todo 0 ≤ i ≤ k-1, v_i e v_i+1 são vértices adjacentes. Os vértices v₀ e v_k são chamados, respectivamente, de origem e fim do percurso, enquanto v₁, v₂, ..., v_k-1 são os vértices internos ao caminho. O inteiro k é o comprimento do percurso. Um caminho em um digrafo é um percurso no qual todos os arcos estão orientados no sentido origem do percurso-fim do percurso.

Se A é a matriz de adjacência de um grafo G com conjunto de vértices dado por V(G) = {v₁, v₂, ..., v_n}, então a entrada (i,j) de A^k, com k ≥ 1, corresponde ao número de percursos (distintos) de comprimento k existentes entre os vértices v_i e v_j.

Pode-se mostrar esse resultado por indução. Quando k = 1, o resultado segue de modo natural da definição de matriz de adjacência, uma vez que existe um percurso de comprimento 1 entre o vértice v_i e o vértice v_j se e só se {v_i, v_j} é uma aresta de G. Seja

${A^{k-1}=\left[a_{ij}^{(k-1)}\right]},$

e assuma que a_ij ^(k-1) é o número de percursos distintos de comprimento k - 1 entre os vértices v_i e v_j em G. Considerando

${A^{k}=\left[a_{ij}^{(k)}\right]},$

e como A^k = A^k-1 . A, temos que

${{a_{ij}^{(k)}=}{\sum _{p=1}^{n}a_{ip}^{(k-1)}a_{pj}}}.$

Observe que, na expressão acima, o elemento a_ij ^(k) é obtido multiplicando-se os elementos da linha i de A^k-1 pelos respectivos elementos da coluna j de A e, em seguida, efetuando-se a soma dos produtos obtidos.

Todo percurso entre v_i e v_j de comprimento k em G consiste de um percurso entre v_i e v_p de comprimento k - 1, onde v_p é adjacente a v_j, seguido da aresta {v_p, v_j} e do vértice v_j. O resultado decorre da hipótese de indução e da última equação.

O resultado permanece válido para digrafos, fazendo-se as devidas adequações: trocando arestas por arcos e percursos por caminhos.

Para ilustrar o resultado acima, observe as potências 2 e 3 da matriz de adjacência A correspondente ao grafo da figura:

$A^{2}={\begin{bmatrix}3&2&1&1&2&0\\2&3&0&2&1&0\\1&0&2&0&2&1\\1&2&0&3&0&0\\2&1&2&0&3&1\\0&0&1&0&1&1\\\end{bmatrix}},A^{3}={\begin{bmatrix}7&6&3&3&6&1\\6&3&5&1&7&2\\3&5&0&5&1&0\\3&1&5&0&6&3\\6&7&1&6&3&0\\1&2&0&3&0&0\\\end{bmatrix}}$.

O elemento (4,6) de A² indica que não há nenhum caminho de comprimento 2 ligando os vértices 4 e 6 do grafo acima. Por outro lado, o elemento (4,6) de A³ indica que existem 3 caminhos de comprimento 3 ligando os vértices 4 e 6. São eles: (4,3,4,6), (4,5,4,6) e (4,6,4,6).

Bibliografia

• CHARTRAND, G., LESNIAK, L. Graphs & Digraphs. Editora CRC Press, 2004.

Ver também

• Teoria dos grafos
• Matriz de incidência
• Lista de adjacência