Matriz ortogonal

Isto é, uma matriz $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ é ortogonal se $M^{-1}=M^{T}$

Definição

Uma matriz $M\in R^{n\times n}$ é dita ortogonal se:

ortogonal se for invertível, isto é: $det(M)\neq 0$ ^[4]; (necessário, mas não é suficiente)
ortogonal se somente se sua matriz inversa $M^{-1}$ coincide com sua matriz transposta $M^{T}$ , isto é: $M^{-1}=M^{T}$ ^[5] (necessário e suficiente)

I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{n\times n}

;

R_{\theta }={\begin{bmatrix}\cos \,\theta &{\text{-sen}}\,\theta \\{\text{sen}}\,\theta &\cos \,\theta \end{bmatrix}}

R_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:^[1]

A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.^{[demonstração 2]}

A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.^{[demonstração 3]}

A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, sua transposta $A^{T}$ também é.^{[demonstração 4]}

Se $A$ é uma matriz ortogonal, então $cA$ é ortogonal se, e somente se, $c=\pm 1$ .^{[demonstração 5]}

Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086
Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445
Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093
Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185

↑ Da definição, tem-se que: $A^{T}\cdot A^{-1}=I_{n}$ , então $det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(I_{n})=1$ . Pelo Teorema de Binet, $det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(A^{T})\cdot det(A^{-1})$ , então $det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(A^{T})\cdot det(A^{-1})=1$ .
No entanto, sabe-se também da definição que $A^{T}=A^{-1}$ implica $\det(A^{T})=\det(A^{-1})$ .
Logo, $det(A^{T})\cdot det(A^{-1})={\bigl (}det(A){\bigr )}^{2}=1$ , de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se $\det(A)=\pm 1$ .
↑ Seja $A=[\mathbf {a} _{1}~\mathbf {a} _{2}~\ldots ~\mathbf {a} _{n}]$ uma matriz ortogonal, onde $\mathbf {a} _{i}$ indica a i-ésima coluna de $A$ . Como $A^{T}=A^{-1}$ , temos $A^{T}A=I_{n}$ , donde vemos que:
$\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=\left\{{\begin{array}{ll}1&,~i=j\\0&,~i\neq j\end{array}}\right.$
isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna $\{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\}$ é um conjunto ortonormal.
Reciprocamente, se as colunas de $A$ formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que $A^{T}A=I_{n}$ .
↑ Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
↑ Segue imediatamente da observação de que:
$A^{T}=A^{-1}\Leftrightarrow (A^{T})^{T}=(A^{-1})^{T}\Leftrightarrow A=(A^{T})^{-1}$ .
↑ Por hipótese, $A^{T}=A^{-1}$ . Com isso, temos:
$(cA)^{T}=cA^{T}=cA^{-1}$ .
Agora, $cA^{-1}=(cA)^{-1}$ se, e somente se, $c=\pm 1$ . Isso completa a demonstração.