Uma matriz
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
M
{\displaystyle M}
[ 1] [ 2]
A
=
M
−
1
B
M
{\displaystyle A=M^{-1}BM\,}
[ 4] Observamos que a definição exige que
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
editar
O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência , i.e.:[ 1]
(Reflexividade ) Toda matriz
A
{\displaystyle A}
(Simetria )
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
(Transitividade )
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
Demonstração 1. Como
A
=
I
−
1
A
I
{\displaystyle A=I^{-1}AI}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
2. Se
A
=
M
−
1
B
M
{\displaystyle A=M^{-1}BM}
B
=
N
−
1
A
N
{\displaystyle B=N^{-1}AN}
N
=
M
−
1
{\displaystyle N=M^{-1}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
3. Se
A
=
M
−
1
B
M
{\displaystyle A=M^{-1}BM}
B
=
N
−
1
C
N
{\displaystyle B=N^{-1}CN}
A
=
P
−
1
C
P
{\displaystyle A=P^{-1}CP}
P
=
N
M
{\displaystyle P=NM}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
Sejam A e B matrizes semelhantes, então:[ 1] [ 2] [ 5]
det
(
A
)
=
det
(
B
)
{\displaystyle \det(A)=\det(B)}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
polinômio característico ;
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
valores próprios com a mesma multiplicidade;
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
traço ;
A
k
{\displaystyle A^{k}}
B
k
{\displaystyle B^{k}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
As matrizes de um operador linear de dimensão finita são semelhantes. Propriedade 1. Mostraremos que se
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
det
(
A
)
=
det
(
B
)
{\displaystyle \det(A)=\det(B)}
M
{\displaystyle M}
A
=
M
−
1
B
M
{\displaystyle A=M^{-1}BM}
determinante segue que:
det
(
A
)
=
det
(
M
−
1
B
M
)
=
det
(
M
−
1
)
det
(
B
)
d
e
t
(
M
)
=
1
det
(
M
)
det
(
B
)
det
(
M
)
=
det
(
B
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=\det(M^{-1}BM)\\&=\det(M^{-1})\det(B)det(M)\\&={\frac {1}{\det(M)}}\det(B)\det(M)\\&=\det(B)\end{aligned}}}
Propriedade 2. Mostraremos que se
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
M
{\displaystyle M}
A
=
M
−
1
B
M
{\displaystyle A=M^{-1}BM}
B
=
M
A
M
−
1
{\displaystyle B=MAM^{-1}}
A
{\displaystyle A}
(
M
A
M
−
1
)
−
1
=
M
A
−
1
M
−
1
{\displaystyle (MAM^{-1})^{-1}=MA^{-1}M^{-1}}
B
{\displaystyle B}
B
(
M
A
−
1
M
−
1
)
=
M
A
(
M
−
1
M
)
A
−
1
M
−
1
=
M
(
A
A
−
1
)
M
−
1
=
M
M
−
1
=
I
{\displaystyle B(MA^{-1}M^{-1})=MA(M^{-1}M)A^{-1}M^{-1}=M(AA^{-1})M^{-1}=MM^{-1}=I}
e
(
M
A
−
1
M
−
1
)
B
=
M
A
−
1
(
M
−
1
M
)
A
M
−
1
=
M
(
A
−
1
A
)
M
−
1
=
M
M
−
1
=
I
{\displaystyle (MA^{-1}M^{-1})B=MA^{-1}(M^{-1}M)AM^{-1}=M(A^{-1}A)M^{-1}=MM^{-1}=I}
Isto mostra que se
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Propriedade 3. Mostraremos que se
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
M
{\displaystyle M}
A
=
M
−
1
B
M
{\displaystyle A=M^{-1}BM}
B
{\displaystyle B}
p
B
(
λ
)
=
det
(
B
−
λ
I
)
{\displaystyle p_{B}(\lambda )=\det(B-\lambda I)}
p
B
(
λ
)
=
det
(
M
−
1
)
det
(
B
−
λ
I
)
det
(
M
)
=
det
[
M
−
1
(
B
−
λ
I
)
M
]
=
det
(
M
−
1
B
M
−
λ
M
−
1
M
)
=
det
(
A
−
λ
I
)
=
p
A
(
λ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{B}(\lambda )&=\det(M^{-1})\det(B-\lambda I)\det(M)\\&=\det[M^{-1}(B-\lambda I)M]\\&=\det(M^{-1}BM-\lambda M^{-1}M)\\&=\det(A-\lambda I)\\&=p_{A}(\lambda )\end{aligned}}}
Isso conclui a demonstração.
Propriedade 4. Segue imediatamente da propriedade 3.
Propriedade 5. Segue da propriedade 3, pois o traço de uma matriz
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
Propriedade 6. Mostraremos que se
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
k
{\displaystyle A^{k}}
B
k
{\displaystyle B^{k}}
k
{\displaystyle k}
natural . Com efeito, existe uma matriz invertível
M
{\displaystyle M}
A
=
M
−
1
B
M
{\displaystyle A=M^{-1}BM}
indução em
k
{\displaystyle k}
(
M
−
1
B
M
)
k
=
M
−
1
B
k
M
{\displaystyle (M^{-1}BM)^{k}=M^{-1}B^{k}M}
A
k
=
M
−
1
B
k
M
{\displaystyle A^{k}=M^{-1}B^{k}M}
Propriedade 7. Seja
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\to V}
V
{\displaystyle V}
B
1
{\displaystyle B_{1}}
B
2
{\displaystyle B_{2}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
T
{\displaystyle T}
B
1
{\displaystyle B_{1}}
B
2
{\displaystyle B_{2}}
[
T
(
x
)
]
B
1
=
A
[
x
]
B
1
,
∀
x
∈
V
{\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{1}}=A[\mathbf {x} ]_{B_{1}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}
e
[
T
(
x
)
]
B
2
=
B
[
x
]
B
2
,
∀
x
∈
V
{\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=B[\mathbf {x} ]_{B_{2}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}
onde,
[
x
]
B
1
{\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{1}}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
B
1
{\displaystyle B_{1}}
[
x
]
B
2
{\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{2}}}
P
{\displaystyle P}
B
1
{\displaystyle B_{1}}
B
2
{\displaystyle B_{2}}
[
x
]
B
2
=
P
[
x
]
B
1
,
∀
x
∈
V
{\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{2}}=P[\mathbf {x} ]_{B_{1}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}
Logo, temos:
[
T
(
x
)
]
B
2
=
B
P
[
x
]
B
1
⇒
P
−
1
[
T
(
x
)
]
B
2
=
P
−
1
B
P
[
x
]
B
1
⇒
[
T
(
x
)
]
B
1
=
P
−
1
B
P
[
x
]
B
1
⇒
A
[
x
]
B
1
=
P
−
1
B
P
[
x
]
B
1
{\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow P^{-1}[T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow [T(\mathbf {x} )]_{B_{1}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow A[\mathbf {x} ]_{B_{1}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}}
Como a última igualdade é válida para todo
x
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} \in V}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{B}(\lambda )&=\det(M^{-1})\det(B-\lambda I)\det(M)\\&=\det[M^{-1}(B-\lambda I)M]\\&=\det(M^{-1}BM-\lambda M^{-1}M)\\&=\det(A-\lambda I)\\&=p_{A}(\lambda )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2d3b15b98d8103ed01fbf0167a0b924e1e6b91)
![{\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{1}}=A[\mathbf {x} ]_{B_{1}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0c26688055ac9062afa996cf46a5839913b7b1)
![{\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=B[\mathbf {x} ]_{B_{2}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6cb184213005712ef28062bf1f9445b310c731)
![{\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b67d1506023422eb5baa9c0891b8b8364503d50)
![{\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23348aad674fd8f018d3547c3998754eef0d16c5)
![{\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{2}}=P[\mathbf {x} ]_{B_{1}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56924a56d41b702bbff64a627682b3477bf28936)
![{\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow P^{-1}[T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow [T(\mathbf {x} )]_{B_{1}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow A[\mathbf {x} ]_{B_{1}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b2f59ea15393866732e81986c5884d397a4ffe)
