Momento (estatística)

Em estatística, a expressão genérica de esperança, o ${\color {Red}n}$-ésimo momento ou momento de ordem n de uma variável aleatória $X$ é dado por:

$E\left[X^{\color {Red}n}\right],$

onde o símbolo $E$ indica a operação de valor esperado ou esperança.

Os momentos são muito importantes em estatística para caracterizar distribuições de probabilidade. Por exemplo, a distribuição normal é caracterizada apenas pelo primeiro e pelo segundo momentos. Os primeiro, segundo, terceiro e quarto momentos caracterizam a tendência central, dispersão, assimetria e curtose, respectivamente, de uma distribuição de probabilidades.

Os momentos mais importantes são os quatro primeiros, que são muito utilizados para caracterizar funções densidade de probabilidade. Entretanto, é quase sempre possível calcular momentos de alta ordem.

Definição formal

Momento

As seguintes definições são equivalentes:

• Para cada número inteiro ${\color {Red}n}$, o ${\color {Red}n}$-ésimo momento de uma variável aleatória $X$ é definido como

$E\left[X^{\color {Red}n}\right].$

• O n-ésimo momento da variável aleatória $X$, cuja função densidade é dada por $f$, é definido por:

$\mu '_{\color {Red}n}=E\left[X^{\color {Red}n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{\color {Red}n}f(x)dx.$

Momento Central

• Para cada número inteiro ${\color {Red}n}$, o ${\color {Red}n}$-ésimo momento central de uma variável aleatória $X$ é definido como

$\mu _{\color {Red}n}=E\left[(X-E[X])^{\color {Red}n}\right].$

Cálculo de momentos

Por ser um cálculo de valor esperado (esperança), o cálculo dos momentos varia ligeiramente dependendo de a variável aleatória ser do tipo discreta ou contínua. Isso porque a esperança, no caso de variáveis aleatórias discretas, é calculado por uma soma ponderada das possíveis ocorrências. No caso de variáveis aleatórias contínuas, a esperança é calculada por uma integral (que nada mais é que uma soma infinita). A ideia, porém, é a mesma.

Valor de n	Tipo de variável	Substituindo o valor de ${\color {Red}n}$ na equação de definição de momento, temos	Substituindo o valor de ${\color {Red}n}$ na equação de definição de momento central, temos
1º momento (${\color {Red}n}=1$)	Contínua	$\mu _{\color {Red}1}^{'}=E\left(x^{\color {Red}1}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{x}(x)x^{\color {Red}1}dx$, ou seja, o primeiro momento é a média da variável X	$\mu _{\color {Red}1}=E\left[(X-E(X))^{\color {Red}1}\right]=E(X)-E(X)=0$. Ou seja, o primeiro momento central é sempre igual a zero.
	Discreta	$\mu _{\color {Red}1}^{'}=E\left(x^{\color {Red}1}\right)=\sum _{x}^{}\left[f_{x}(x)x^{\color {Red}1}\right]$, ou seja, o primeiro momento é a média da variável X
2º momento (${\color {Red}n}=2$)	Contínua	$\mu _{\color {Red}2}^{'}=E\left(x^{\color {Red}2}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{x}(x)x^{\color {Red}2}dx$	$\mu _{\color {Red}2}=E\left[(X-E(X))^{\color {Red}2}\right]=Var\left(X\right)$. Ou seja, o segundo momento central de uma variável aleatória é sua variância.
	Discreta	$\mu _{\color {Red}2}^{'}=E\left(x^{\color {Red}2}\right)=\sum _{x}^{}\left[f_{x}(x)x^{\color {Red}2}\right]$.

Momento conjunto

Seja o vetor $X=\left[X_{1}X_{2}X_{3}\cdots X_{N}\right]$. O k-ésimo momento conjunto de X é

$E\left[X_{1}^{k_{1}}*X_{2}^{k_{2}}*X_{3}^{k_{3}}*X_{4}^{k_{4}}...*X_{N}^{k_{n}}\right]$,

sendo que:

$\sum _{i=1}^{n}{k_{i}}=k.$

Ver também

• Média
• Variância
• Curtose
• Função densidade de probabilidade

Ligações externas

• Momento