Operador projeção ortogonal

Em matemática, sobretudo na análise funcional define-se operador projeção ortogonal, ou simplesmente, projetor ortogonal como um operador linear limitado $P:H\to H\,$ em um espaço de Hilbert $H\,$ que satisfaz:

• $P^{2}=P\,$(P é idempotente)

• $P=P^{*}\,$(P é auto adjunta)

A projeção ortogonal, é uma projeção cuja Imagem $I\,$e o núcleo $N\,$ são Ortogonais. Isto é, para todo $x$ e $y$ em $H\,$,

$\langle Px,(y-Py)\rangle =\langle (x-Px),Py\rangle =0$. De forma equivalente:

$\langle x,Py\rangle =\langle Px,Py\rangle =\langle Px,y\rangle$

Uma projeção é ortogonal se e só se é auto adjunta. Usando a propriedade auto adjunta e idempotencia de P, para quaisquer $x$ e $y$ em $H\,$ temos que $Px\in I\,$, $y-Py\in N\,$e além disso

$\langle Px,y-py\rangle =\langle P^{2}x,y-Py\rangle =\langle Px,P(I-P)y\rangle =\langle Px,(P-P^{2})y\rangle =0$

Onde $\langle .,.\rangle$ é o produto interno associado com $H\,$. Portanto, $P$ e $I-P$ são projeções ortogonais.

A outra direção, isto é, se $P$ é ortogonal então é auto adjunta segue de:

$\langle x,Py\rangle =\langle Px,y\rangle =\langle x,P^{*}y\rangle$ para todo $x$ e $y$ em $H\,$

Portanto $P=P^{*}$

Propriedades

• O operador $Q\,$ definido como $Q=I-P\,$ é chamado de complemento ortogonal de P e, como é fácil ver, também um projetor ortogonal com a seguinte propriedade adicional:
  $\langle Px,Qy\rangle =\langle QPx,y\rangle =\langle (I-P)Px,y\rangle =\langle (P-P^{2})x,y\rangle =0$

• Uma projeção ortogonal é um operador limitado. Isso é porque para todo $v$ no espaço vetorial nós temos, por conta da desigualdade de Cauchy-Schwarz:
  $\|Pv\|^{2}=\langle Pv,Pv\rangle =\langle Pv,v\rangle \leq \|Pv\|\cdot \|v\|$
  Então $\|Pv\|\leq \|v\|$

Bibliografia

• Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc.

Ver também

• Operador auto-adjunto