Paridade de funções

Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria de funções.

Definição

Seja $E\subseteq \mathbb {R}$ um conjunto com a seguinte propriedade de simetria em relação à origem:

x\in E\Longrightarrow -x\in E.

Uma função $f:E\to \mathbb {R}$ é dita par se

f(x)=f(-x)

Uma função $f:E\to \mathbb {R}$ é dita ímpar se

f(-x)=-f(x)

A nomenclatura provém do fato que a função $f(x)=x^{k}$ é ímpar se $k$ é um número ímpar e par se $k$ é um número par.

Exemplos

$f(x)=\operatorname {sen}(x)$ é uma função ímpar.
$f(x)=\cos(x)$ é uma função par.
$f(x)=\operatorname {tg} (x)$ é uma função ímpar.

Decomposição em funções par e ímpar

Toda função $f:E\to \mathbb {R}$ definida em um conjunto $E$ simétrico em relação à origem pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar:

f(x)=f_{i}(x)+f_{p}(x)=\left({\frac {f(x)-f(-x)}{2}}\right)+\left({\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\right)

Exemplo

Seja $f(x)=e^{x},$ temos:

f(x)=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)+\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)=\operatorname {senh} (x)+\cosh(x)

Propriedades

A única função par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula ( $f(x)=0$ ).
Há funções que não são nem pares nem ímpares.
Uma função ímpar definida na origem é nula na origem.
A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade.
O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par.
O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar.
A derivada de uma função par é uma função ímpar.
A derivada de uma função ímpar é uma função par.