Primitiva

Em matemática, se $A$ é um conjunto de números reais e $f$ é uma função de $A$ em $R$, diz-se que uma função $F$ de $A$ em $R$ é uma primitiva ou antiderivada de $f$ se a derivada de $F$ for igual a $f$. Se f tiver uma primitiva, diz-se que $f$ é primitivável. Pode-se provar que, se $A$ for um intervalo com mais do que um ponto:

• quaisquer duas primitivas diferem por uma constante, ou seja, se F₁ e F₂ forem primitivas de $f$, então F₁ − F₂ é constante;
• se $f$ for contínua então f é primitivável, o que resulta do teorema fundamental do cálculo.

Quando se primitiva uma função num intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) obtém-se uma família de primitivas na forma:

$\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb {R}$

Primitivas básicas

Para fazer primitivas básicas de uma função é preciso ter o domínio de derivadas, pois este fato é preponderante, tendo uma função $F(x)$ na qual sua primitiva básica será uma função $f(x)+C$, em que $C$ é uma constante, a derivada de $f(x)+C$ terá como resultado a função $F(x)$, pode-se concluir que ${df \over dx}+{dC \over dx}=F(x)$

O uso de primitivas básicas é muito importante porque seus conceitos são de extrema relevância para o teorema fundamental do cálculo.

Existem várias primitivas básicas, dentre as quais:

1- a função $F(x)=x^{n}$ em que n ≠ -1, sua primitiva geral é $f(x)={x^{n+1} \over n+1}+C$

2- $f(x)=x^{-1}$ ou $f(x)={1 \over x}$, então $F(x)=\ln(x)+C$ é a primitiva geral de f(x),pois $f'(x)={1 \over x}=F(x)$

3 -seja $F(x)=e^{x}$, então $f(x)=e^{x}+C$ é a primitiva geral, pois $f'(x)=e^{x}=F(x)$

4 -se $F(x)=b^{x}$, sua primitiva geral será $f(x)={b^{x} \over \ln(x)}+C$+, pois $f'(x)=b^{x}=F(x)$

5- a função $F(x)=\cos(x)$ , sua primitiva geral é $f(x)=\sin(x)+C$

6- se $F(x)=\sin(x)$, sua primitiva geral $f(x)=-\cos(x)+C$

7 - $F(x)=\sec ^{2}(x)$, primitiva geral é $f(x)=\tan(x)+C$

8 - se $F(x)=-\csc ^{2}(x)$, sua primitiva geral é $f(x)=\cot(x)+C$

9- $F(x)=\sec(x)\cdot \tan(x)$, sua primitiva geral é $f(x)=\sec(x)+C$

10 - a função $F(x)=\csc(x)\cdot \cot(x)$, sua primitiva geral é $f(x)=\csc(x)+C$

11-seja $F(x)+G(x)$, $Z(x)-H(x)$ ou $V(x)+J(x)-W(x)$, suas primitivas são $f(x)+g(x)+C$,

$z(x)-h(x)+c$ e $v(x)+j(x)-w(x)+C$

Exemplo no cálculo de uma primitiva

1) $F(x)=x^{2}$

$f(x)={x^{(2+1)} \over {(2+1)}}+C={X^{3} \over 3}+C$

2) $G(x)=\sec ^{2}$

$g(x)=\tan(x)+C$

3) $H(x)-K(x)=e^{x}-\cos(x)$

$h(x)-k(x)=e^{x}-\sin(x)+C$

4) $F(x)+G(x)={1 \over x}+x^{n}$, sua primitiva geral é $f(x)+g(x)=\ln(x)+{x^{n+1} \over n+1}+C$

$Z(x)-H(x)=\cos {\dot {(}}x)-e^{x}$, sua primitiva geral é $z(x)-h(x)=\sin(x)-e^{x}+C$

$V(x)+J(x)-W(x)=\sin(x)+b^{x}-e^{x}$, sua primitiva geral é $v(x)+j(x)-w(x)=-\cos(x)+{b^{x} \over \ln(x)}-e^{x}+C$

4) $Psen{\sqrt {x}}$

Usaremos os métodos da primitivação por substituição e da primitivação por partes.

Façamos a seguinte substituição: ${\sqrt {x}}=t$

Temos então que:

$x=t^{2}\ \ {\frac {dx}{dt}}=2t$

Substituindo ficamos então com:

$Psen{\sqrt {x}}=Psen{(t)}2t$

Aplicamos agora a primitivação por partes

$u'=sen{t}\ \ u=-cos{t}$

$v=2t\ \ v'=2$

$Psen{(t)}2t=-cos(t)2t-P2(-cos(t))=-cos(t)2t+2Pcos(t)=$

$=-cos(t)2t+2.sen(t)+C=2(-t.cos(t)+sen(t))+C$

fazendo agora a substituição inicial $t={\sqrt {x}}$ temos o resultado final:

$Psen{\sqrt {x}}=2(-{\sqrt {x}}.cos{\sqrt {x}}+sen{\sqrt {x}})+C$

Ver também

• Integral

Ligações externas

• «Cálculo de primitivas online (The Wolfram Integrator)»