Produto entrelaçado

Na teoria dos grupos, o produto entrelaçado é um produto especializado de dois grupos, baseado em um produto semidireto. Os produtos entrelaçados são usados na classificação de grupos de permutação e também fornecem uma maneira de construir exemplos interessantes de grupos.

Dados dois grupos A e H, existem duas variações do produto entrelaçado: o produto entrelaçado irrestrito $A{\text{Wr}}H$ (também escrito $A\wr H$ com o símbolo de latex \wr) e o produto entrelaçado restrito A wr H. Dado um conjunto Ω com uma ação de H, existe uma generalização do produto entrelaçado que é denotada por A Wr_Ω H ou A wr_Ω H respectivamente.

A noção se generaliza para semigrupos e é uma construção central na teoria da estrutura de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos.

Definição

Sejam A e H grupos e Ω um conjunto sobre o qual H age (pela direita). Seja K o produto direto

K=\prod _{\omega \in \Omega }A_{\omega }

de cópias de A_ω := A indexadas pelo conjunto Ω. Os elementos de K podem ser vistos como sequências arbitrárias (a_ω) de elementos de A indexados por Ω com multiplicação componente a componente. Então a ação de H sobre Ω se estende de forma natural a uma ação de H sobre o grupo K por

h(a_{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }).

Então, o produto entrelaçado A Wr_Ω H de A por H é o produto semidireto K ⋊ H. O subgrupo K de A Wr_Ω H é chamado de base do produto entrelaçado.

O produto entrelaçado restrito A wr_Ω H é construído da mesma maneira que o produto entrelaçado irrestrito, exceto pelo uso da soma direta

K=\bigoplus _{\omega \in \Omega }A_{\omega }

como base do produto entrelaçado. Neste caso, os elementos de K são sequências (a_ω) de elementos de A indexadas por Ω, em que todos, exceto uma quantidade finita dos a_ω, são o elemento neutro de A.

No caso mais comum, considera-se Ω := H, em que H atua de maneira natural sobre si mesmo por multiplicação à esquerda. Neste caso, os produtos entrelaçados irrestrito e restrita podem ser denotados por A Wr H e A wr H respectivamente. Isso é chamado de produto entrelaçado regular.

Notação e convenções

A estrutura do produto entrelaçado de A por H depende do H- conjunto Ω e, no caso de Ω ser infinito, também depende de ser usado o produto entrelaçado restrito ou irrestrito. No entanto, na literatura, a notação utilizada pode ser deficiente e deve-se atentar para as circunstâncias.

Na literatura, A≀_ΩH pode representar o produto entrelaçado irrestrito A Wr_Ω H ou o produto entrelaçado restrito A wr_Ω H.
Da mesma forma, A≀H pode representar o produto entrelaçado regular irrestrito A Wr H ou o produto entrelaçado regular restrito A wr H.
Na literatura, o H-conjunto Ω pode ser omitido da notação mesmo se Ω ≠ H.
No caso especial em que H = S _n é o grupo simétrico de grau n, é comum na literatura assumir que Ω = {1, ..., n} (com a ação natural de S_n) e então omitir Ω da notação. Ou seja, A≀S _n comumente denota A≀_{{1, ..., n }}S_n em vez do produto regular entrelaçado A≀_{S_n}S_n. No primeiro caso, o grupo de base é o produto de n cópias de A, no último caso é o produto de n! cópias de A.

Propriedades

Coincidência dos produtos entrelaçados irrestrito e restrito quando Ω é finito

Uma vez que o produto direto finito de grupos é o mesmo que a soma direta finita de grupos, segue-se que o A Wr_Ω H irrestrito e o produto entrelaçado restrito A wr_Ω H coincidem se o H-conjunto Ω é finito. Em particular, isso é verdade quando Ω = H é finito.

Subgrupo

A wr_Ω H é sempre um subgrupo de A Wr_Ω H.

Propriedades da cardinalidade

Se A, H e Ω são finitos, então

|A≀_ΩH| = |A|^|Ω||H|.^[1]

Teorema da inclusão universal

Teorema da inclusão universal: Se G é uma extensão de A por H, então existe um subgrupo do produto entrelaçado irrestrito A≀H que é isomorfo a G.^[2] Isso também é conhecido como teorema de inclusão de Krasner-Kaloujnine. O teorema de Krohn-Rhodes diz respeito ao que é basicamente o equivalente disso para semigrupos.^[3]

Ações canônicas de produtos entrelaçados

Se o grupo A age sobre um conjunto Λ, então existem duas maneiras canônicas de usar Ω e Λ para construir conjuntos em que A Wr _Ω H (e, portanto, também A wr_Ω H) possa agir.

A ação imprimitiva do produto entrelaçado em Λ × Ω.

If ((a_ω), h) ∈ A Wr_Ω H e (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, então

((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').

A ação primitiva do produto entrelaçado em Λ^Ω.

Um elemento em Λ^Ω é uma sequência (λ_ω) indexada pelo H-conjunto Ω. Dado um elemento (( a_ω ), h) ∈ A Wr_Ω H, sua operação em (λ_ω) ∈ Λ^Ω é dada por

((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).

Exemplos

O grupo Lamplighter é o produto entrelaçado restrito ℤ₂≀ℤ.
$ℤ m ≀ S n$ (grupo simétrico generalizado).

A base deste produto entrelaçado é o produto direto

ℤ_mⁿ = ℤ_m × ... × ℤ_m

de n cópias de ℤ_m em que a ação φ : S_n → Aut(ℤ_mⁿ) do grupo simétrico S_n de grau n é dada por

φ(σ)(α₁, ..., α_n) := (α_σ(1), ..., α_σ(n)).^[4]

S₂≀S_n (grupo hiperoctaédrico).

A ação de S_n em {1, ..., n } é como acima. Como o grupo simétrico S₂ de grau 2 é isomórfico a ℤ_2, o grupo hiperoctaédrico é um caso especial de um grupo simétrico generalizado.^[5]

O menor produto entrelaçado não trivial é ℤ₂≀ℤ₂, que é o caso bidimensional do grupo hiperoctaédrico acima. É o grupo de simetrias do quadrado, também denominado Dih₄, o grupo diedral de ordem 8.
Seja p primo e seja n≥1. Seja P um p-subgrupo de Sylow do grupo simétrico S_pⁿ. Então P é isomorfo ao produto entrelaçado regular iterado W_n = ℤ_p≀ℤ_p≀...≀ℤ_p de n cópias de ℤ_p. Aqui W₁ : = ℤ_p e W_k : = W_k−1≀ℤ _p para todo k ≥ 2.^[6]^[7] Por exemplo, o 2-subgrupo de Sylow de S₄ é o grupo ℤ₂≀ℤ₂ acima.

O grupo do cubo de Rubik é um subgrupo de índice 12 no produto de produtos entrelaçados, (ℤ₃≀S₈) × (ℤ₂≀S₁₂), cujos fatores correspondem às simetrias dos 8 cantos e das 12 arestas.

O grupo de transformações que preservam a validade de Sudoku contém o produto entrelaçado (S₃≀S₃)≀ℤ₂, em que os fatores são a permutação de linhas/colunas dentro de uma faixa ou pilha de 3 linhas ou 3 colunas (S₃), a permutação das próprias faixas/pilhas (S₃) e a transposição, que intercambia as linhas e colunas (ℤ₂).

Referências

↑ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
↑ M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)
↑ J D P Meldrum (1995). Wreath Products of Groups and Semigroups. Longman [UK] / Wiley [US]. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-582-02693-3
↑ J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc (2), 8, (1974), pp. 615–620
↑ P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1–42.
↑ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 176 (1995)
↑ L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948)

Ligações externas

Produto entrelaçado na Enciclopédia de Matemática.
Algumas aplicações da construção do produto Wreath. Arquivado em 2014-02-21 no Wayback Machine

[1] Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)

[2] M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)

[Meldrum1995-3] J D P Meldrum (1995). Wreath Products of Groups and Semigroups. Longman [UK] / Wiley [US]. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-582-02693-3

[4] J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc (2), 8, (1974), pp. 615–620

[5] P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1–42.

[6] Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 176 (1995)

[7] L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948)

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