Propriedades de raízes de polinômios

Na matemática, cotas para raízes de polinômios são estimativas para a grandeza do módulos das raízes de uma função polinomial, isto é, uma função do tipo:

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n},\quad x\in \mathbb {C}$

onde os coeficientes $a_{0},\ldots ,a_{n}$ são números complexos e $a_{n}\neq 0$. Tais cotas localizam as raízes da função polinomial em uma região limitada do plano complexo, normalmente um círculo.

Teorema Fundamental da álgebra

Ver artigo principal: teorema fundamental da álgebra

O teorema fundamental da álgebra diz que "um polinômio de grau n tem n raízes se forem considerados as raízes reais e imaginárias com seu grau de multiplicidade." A partir desse teorema podemos escrever um polinômio de grau $n$ com raízes $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ de uma maneira diferente:

$p_{n}(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{m1}(x-\alpha _{2})^{m2}...(x-\alpha _{r})^{mr}$

Onde: $m1+m2+...+mr=n$ e o $a_{n}$ é o coeficiente de $x^{n}$ e $mk$ é o grau de multiplicidade da raiz $\alpha _{k}.$

Cota de Laguerre-Thibault

O teorema de Laguerre diz que dado um polinômio $P(x)$ com coeficientes reais e dado um número, obtemos $P(x)=(x-a)q(x)+R$. Se os coeficientes de $q(x)$ e $R$ forem todos positivos ou nulos, então teremos que todas as raízes reais positivas $xj$ verificam $xj<a$.

Dado $P(x)=0$ com coecientes reais, fazendo a deflação de $P(x)$ por $x-1$, $x-2$,

$x-3$..., até $x-m$, onde $q(x)$ tenha todos os seus coeficientes positivos ou nulos, assim como $R(x)>0$ tal $m$ é conhecido como cota superior das raízes reais de $P(x)=0$. Para determinar a cota inferior deve se fazer o mesmo procedimento para $P(-x)$ e assim tem-se a cota inferior.

Por exemplo:

Dado o polinômio $P(x)=x^{5}-3x^{4}+2x^{3}-5x^{2}+20x-10$.

Consideramos a tarefa de localizar as raízes de $P(x)=0$.

	1	-3	2	-5	20	-10
1		1	-2	0	-5	15
	1	-2	0	-5	15	5

	1	-3	2	-5	20	-10
2		2	-2	0	-10	20
	1	-1	0	-5	10	10

	1	-3	2	-5	20	-10
3		3	0	6	3	69
	1	0	2	1	23	59

Portando temos que todas as raízes positivas de $P(x)=0$ são menores que $3$. Conclui-se que $3$ é cota superior de $P(x)$.

Para localizar as raízes negativas faz-se o mesmo procedimento, porém, agora o procedimento é aplicado ao polinômio obtido ao multiplicar-se $P(-x)=-x^{5}-3x^{4}-2x^{3}-5x^{2}-20x-10$ por $-1$.

	1	3	2	5	20	10
1		1	4	6	11	31
	1	4	6	11	31	41

Portanto temos que todas as raízes negativas de $P(x)=0$ são maiores que $-1$. Conclui-se que $-1$ é Cota inferior de $P(x)$.

Temos então que as raízes de $P(x)$ pertencem ao intervalo $[-1,3]$.

Cota de Kojima

Tendo a sequencia de valores $q_{1}=|a_{n-1}|/|a_{n}|,q_{2}=(|a_{n-2}|/|a_{n}|)^{1/2},\ldots ,q_{n}=(|a_{0}|/|a_{n}|)^{1/n}$ com $a_{0}\neq 0,a_{n}\neq 0.$

Assim todas as raízes de $P_{n}(x)$ encontram-se no círculo do plano complexo onde o raio é a soma dos dois maiores valores da sequencia.

Por exemplo:

Dado o polinômio $P(x)=7x^{5}+3x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+x-2$

Verificamos que a série de fatores é:

${[(3/7)^{1/1},(4/7)^{1/2},(2/7)^{1/3},(1/7)^{1/4},(2/7)^{1/5}}]$.

Concluimos que a cota de Kojima é:

$(4/7)^{1/2}+(2/7)^{1/5}=1.534$

Cota de Cauchy

Dado um polinômio $P(x)$, tem-se que toda raiz real ou complexa da equação $P(x)=0$ obedece a relação: $\alpha <\beta$. Onde temos que:

$\beta =\lim _{i\to +\infty }x_{i}.$

Tendo o processo interativo com $x_{0}>=0$

$x_{i+1}=\left[{\frac {|a_{n-1}|}{|a_{n}|}}x^{n-1}+\ldots +{\frac {|a_{1}|}{|a_{n}|}}x+{\frac {|a_{0}|}{|a_{n}|}}\right]^{\frac {1}{n}}a_{0}\neq 0,a_{n}\neq 0.$

Por exemplo:

Dado o polinômio $P(x)=-5x^{4}+100x^{3}-75x^{2}+25x+125$ determine a cota de Cauchy.

Temos então:

$x_{i+1}=(20x^{3}+15x^{2}+5x+25)^{0.25}$

Com $x_{0}=0$, o processo interativo converge a $20.738$.