Quadrado mágico

Quadrado Mágico é uma tabela quadrada, com números, em que a soma de cada coluna, de cada linha e das duas diagonais são iguais.^[1]

Veja o exemplo:

$\,\!{\begin{matrix}&&&&15\\&&&\nearrow &\\2&7&6&\rightarrow &15\\9&5&1&\rightarrow &15\\4&3&8&\rightarrow &15\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\searrow &\\15&15&15&&15\end{matrix}}$

Sua origem não é conhecida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores à nossa era na China e na Índia. O quadrado de 9 casas (3 x 3) é encontrado pela primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana (I Século) por Marcellin Berthelot.^[2]

Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuíam a eles o poder de atrair proteção astral para seus detentores.

Classificações

Existem certos modelos de quadrados mágicos que recebem uma classificação especial devido a suas singularidades. São eles:

Imperfeito ou Defeituoso

O que não obedece a todas as regras de um quadrado mágico. Por exemplo, um quadrado mágico onde a soma das linhas e colunas são iguais, mas a das diagonais não;

Hipermágico

O que tem certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas. Por exemplo, um quadrado mágico onde, trocando-se duas colunas de lugar, forma-se um outro quadrado mágico; e

Diabólico

É um quadrado hipermágico com muitas propriedades ou com propriedades muito complexas. O nome diabólico tem sua provável origem na dificuldade em se formá-lo.

Essa complexidade já não existe, uma vez que qualquer Quadrado Mágico de qualquer ordem é facilmente construído a partir de regras pré estabelecidas

Os quadrados de ordem par não múltipla de 4 (ex: 6x6 10x10 14x14 18x18 etc) são os que requerem uma maior atenção para sua construção. Entretanto, existe um roteiro que torna essa construção tão fácil como a de qualquer outro tipo de Quadrado Mágico.

O exemplo a seguir refere-se ao Quadrado Mágico 10x10 cuja soma de qualquer linha coluna ou diagonal é 505.

68	65	96	93	4	1	32	29	60	57
66	67	94	95	2	3	30	31	58	59
92	89	20	17	28	25	56	53	64	61
90	91	18	19	26	27	54	55	62	63
16	13	24	21	49	52	80	77	88	85
14	15	22	23	50	51	78	79	86	87
37	40	45	48	76	73	81	84	9	12
38	39	46	47	74	75	82	83	10	11
41	44	69	72	97	100	5	8	33	36
43	42	71	70	99	98	7	6	35	34

Esse outro exemplo refere-se ao Quadrado Mágico 30x30 cuja soma de qualquer linha coluna ou diagonal é 13515.

488	485	556	553	624	621	692	689	760	757	828	825	896	893	4	1	72	69	140	137	208	205	276	273	344	341	412	409	480	477
486	487	554	555	622	623	690	691	758	759	826	827	894	895	2	3	70	71	138	139	206	207	274	275	342	343	410	411	478	479
552	549	620	617	688	685	756	753	824	821	892	889	60	57	68	65	136	133	204	201	272	269	340	337	408	405	476	473	484	481
550	551	618	619	686	687	754	755	822	823	890	891	58	59	66	67	134	135	202	203	270	271	338	339	406	407	474	475	482	483
616	613	684	681	752	749	820	817	888	885	56	53	64	61	132	129	200	197	268	265	336	333	404	401	472	469	540	537	548	545
614	615	682	683	750	751	818	819	886	887	54	55	62	63	130	131	198	199	266	267	334	335	402	403	470	471	538	539	546	547
680	677	748	745	816	813	884	881	52	49	120	117	128	125	196	193	264	261	332	329	400	397	468	465	536	533	544	541	612	609
678	679	746	747	814	815	882	883	50	51	118	119	126	127	194	195	262	263	330	331	398	399	466	467	534	535	542	543	610	611
744	741	812	809	880	877	48	45	116	113	124	121	192	189	260	257	328	325	396	393	464	461	532	529	600	597	608	605	676	673
742	743	810	811	878	879	46	47	114	115	122	123	190	191	258	259	326	327	394	395	462	463	530	531	598	599	606	607	674	675
808	805	876	873	44	41	112	109	180	177	188	185	256	253	324	321	392	389	460	457	528	525	596	593	604	601	672	669	740	737
806	807	874	875	42	43	110	111	178	179	186	187	254	255	322	323	390	391	458	459	526	527	594	595	602	603	670	671	738	739
872	869	40	37	108	105	176	173	184	181	252	249	320	317	388	385	456	453	524	521	592	589	660	657	668	665	736	733	804	801
870	871	38	39	106	107	174	175	182	183	250	251	318	319	386	387	454	455	522	523	590	591	658	659	666	667	734	735	802	803
36	33	104	101	172	169	240	237	248	245	316	313	384	381	449	452	520	517	588	585	656	653	664	661	732	729	800	797	868	865
34	35	102	103	170	171	238	239	246	247	314	315	382	383	450	451	518	519	586	587	654	655	662	663	730	731	798	799	866	867
97	100	165	168	233	236	241	244	309	312	377	380	445	448	516	513	581	584	649	652	717	720	725	728	793	796	861	864	29	32
98	99	166	167	234	235	242	243	310	311	378	379	446	447	514	515	582	583	650	651	718	719	726	727	794	795	862	863	30	31
161	164	229	232	297	300	305	308	373	376	441	444	509	512	577	580	645	648	713	716	721	724	789	792	857	860	25	28	93	96
163	162	231	230	299	298	307	306	375	374	443	442	511	510	579	578	647	646	715	714	723	722	791	790	859	858	27	26	95	94
225	228	293	296	301	304	369	372	437	440	505	508	573	576	641	644	709	712	777	780	785	788	853	856	21	24	89	92	157	160
227	226	295	294	303	302	371	370	439	438	507	506	575	574	643	642	711	710	779	778	787	786	855	854	23	22	91	90	159	158
289	292	357	360	365	368	433	436	501	504	569	572	637	640	705	708	773	776	781	784	849	852	17	20	85	88	153	156	221	224
291	290	359	358	367	366	435	434	503	502	571	570	639	638	707	706	775	774	783	782	851	850	19	18	87	86	155	154	223	222
353	356	361	364	429	432	497	500	565	568	633	636	701	704	769	772	837	840	845	848	13	16	81	84	149	152	217	220	285	288
355	354	363	362	431	430	499	498	567	566	635	634	703	702	771	770	839	838	847	846	15	14	83	82	151	150	219	218	287	286
417	420	425	428	493	496	561	564	629	632	697	700	765	768	833	836	841	844	9	12	77	80	145	148	213	216	281	284	349	352
419	418	427	426	495	494	563	562	631	630	699	698	767	766	835	834	843	842	11	10	79	78	147	146	215	214	283	282	351	350
421	424	489	492	557	560	625	628	693	696	761	764	829	832	897	900	5	8	73	76	141	144	209	212	277	280	345	348	413	416
423	422	491	490	559	558	627	626	695	694	763	762	831	830	899	898	7	6	75	74	143	142	211	210	279	278	347	346	415	414

Dica

Dicas para solucionar o quadrado mágico 3x3:

O total que se quer obter em todos os sentidos deverá ser dividido por 3. O que resultará no número a ser colocado no centro do quadrado.
Os números a serem colocados nos cantos deverão ser pares se o centro for ímpar, ou vice e versa.
O último número a ser colocado deverá ser o centro mais 4.

Essas regras só valem se os números forem múltiplos de 3. Ex: 15, 18, 21, 24, 27, 30 etc.

Quadrado de Dürer

O chamado “Quadrado de Dürer” é um Quadrado Mágico representado no canto superior direito da gravura Melancolia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. Aqui se apresenta a disposição dos números no quadrado:

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Detalhe direito superior de Melancolia I

Melancolia I (1514) Gravura

Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as seguintes particularidades

Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 formando 1514, data da confecção da obra.
Nessa mesma linha, nos quadrados extremos, estão os números 4 (a 4ª letra é D) e 1 (a 1ª letra é A), de “Dürer, Albrecht”.
A soma dos números de qualquer das linhas é sempre 34
A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34
A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34
A soma dos 4 números das 4 casas centrais é 34
A soma dos 2 números centrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de baixo é 34
A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna esquerda é 34
A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema esquerda em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema direita em baixo é 34
A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema direita em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema esquerda em baixo é 34. (ver abaixo estas 2 últimas somas)

Em negrito 3 + 5 + 12 + 14 = 34; em itálico 2 + 8 + 9 + 15 = 34

16	3	(2)	13
5	10	11	(8)
(9)	6	7	12
4	(15)	14	1

Curiosidade:O quadrado de Dürer foi usado no livro de Dan Brown o símbolo perdido
A Editora 34 traz em seus livros o quadrado de Dürer.

Na Astrologia

Eis a relação entre as casas e os planetas:

Quadrado de 3, compreendendo 9 casas: Saturno;
Quadrado de 4, compreendendo 16 casas: Júpiter;
Quadrado de 5, compreendendo 25 casas: Marte;
Quadrado de 6, compreendendo 36 casas: Sol
Quadrado de 7, compreendendo 49 casas: Vênus;
Quadrado de 8, compreendendo 64 casas: Mercúrio;
Quadrado de 9, compreendendo 81 casas: Lua;
Quadrado de 10, compreendendo 100 casas: Terra

Saturno=15
4	9	2
3	5	7
8	1	6

Júpiter=34
4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

Marte=65
11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Sol=111
6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

Vênus=175
22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

Mercúrio=260
8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	57

Lua=369
37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

Terra = 505

Terra = 505
1	99	98	4	95	6	7	93	92	10
90	12	13	87	16	85	84	18	19	81
80	22	23	27	75	76	74	28	29	71
31	69	68	34	36	65	37	63	62	40
50	49	53	47	45	46	57	58	59	41
51	52	48	54	55	56	44	43	42	60
61	39	38	64	66	35	67	33	32	70
30	72	73	77	26	25	24	78	79	21
20	82	83	17	86	15	14	88	89	11
91	9	8	94	5	96	97	3	2	100

Referências

↑ Charles Hutton, A philosophical and mathematical dictionary (1815), Magical Square [google books]
↑ Marcelin Berthelot, Collection des anciens alchimistes grecs (3 vol., Paris, 1887–1888).

BAYARD, Jean-Pierre. Os Talismãs: Psicologia e poderes dos símbolos de proteção. São Paulo: Editora Pensamento, 1985 (ISBN 85-315-0647-6).
BOUCHER. Jules. A Simbólica Maçônica: Segundo as Regras da Simbólica Tradicional. 11.ª Edição - São Paulo: Editora Pensamento. 2006. (ISBN 85-315-0625-5).

Ver também

Hipercubo mágico

Ligações externas

«Quadrados mágicos com vários símbolos» (em inglês)
«Wolfram MathWorld» (em inglês)
«Métodos para enumerar quadrados mágicos» (em inglês)

[charles.hutton.philosophical.mathematical.dictionary.magical.square-1] Charles Hutton, A philosophical and mathematical dictionary (1815), Magical Square [google books]

[2] Marcelin Berthelot, Collection des anciens alchimistes grecs (3 vol., Paris, 1887–1888).

[1]

[2]

68	65	96	93	4	1	32	29	60	57
66	67	94	95	2	3	30	31	58	59
92	89	20	17	28	25	56	53	64	61
90	91	18	19	26	27	54	55	62	63
16	13	24	21	49	52	80	77	88	85
14	15	22	23	50	51	78	79	86	87
37	40	45	48	76	73	81	84	9	12
38	39	46	47	74	75	82	83	10	11
41	44	69	72	97	100	5	8	33	36
43	42	71	70	99	98	7	6	35	34

488	485	556	553	624	621	692	689	760	757	828	825	896	893	4	1	72	69	140	137	208	205	276	273	344	341	412	409	480	477
486	487	554	555	622	623	690	691	758	759	826	827	894	895	2	3	70	71	138	139	206	207	274	275	342	343	410	411	478	479
552	549	620	617	688	685	756	753	824	821	892	889	60	57	68	65	136	133	204	201	272	269	340	337	408	405	476	473	484	481
550	551	618	619	686	687	754	755	822	823	890	891	58	59	66	67	134	135	202	203	270	271	338	339	406	407	474	475	482	483
616	613	684	681	752	749	820	817	888	885	56	53	64	61	132	129	200	197	268	265	336	333	404	401	472	469	540	537	548	545
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