Raio clássico do elétron

O raio clássico do elétron é uma combinação de quantidades físicas fundamentais que definem um comprimento de escala para os problemas que envolvem os elétrons que interagem com a radiação eletromagnética. De acordo com a compreensão moderna, o elétron é uma partícula elementar com carga puntual, sem extensão espacial. Tentativas de modelar o elétron como uma partícula não-puntual são consideradas mal-concebidas e contra-pedagógicas. No entanto, é útil para definir um comprimento que surge nas interações do elétron em problemas de escalas atômicas. O raio clássico do elétron é dado como (em unidades SI):

$r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}=2,8179403227(19)\times 10^{-15}{\text{ m}},$

onde $e$ e $m_{\text{e}}$ são a carga elétrica e a massa do elétron, $c$ é a velocidade da luz, e $\varepsilon _{0}$ é a permissividade do vácuo. Este valor numérico é várias vezes maior do que o raio do próton.

Em unidades CGS, o fator permissividade não é considerado, mas o raio clássico do elétron mantém o mesmo valor.

O raio clássico do elétron é às vezes conhecido como raio de Lorentz ou comprimento do espalhamento de Thomson. É uma das três escalas relacionadas de comprimento, sendo as outras duas o raio de Bohr e o comprimento de onda Compton do elétron. O raio clássico do elétron é obtido a partir da massa do elétron $m_{\text{e}}$, da velocidade da luz $c$ e da carga do elétron $e$. O raio de Bohr é obtido a partir de $m_{\text{e}}$, $e$ e da constante de Planck $h$. O comprimento de onda Compton é obtido a partir de $m_{\text{e}}$, $h$ e $c$. Qualquer uma dessas três escalas de comprimento pode ser escrita em termos de qualquer outra usando a constante de estrutura $\alpha$:

$r_{\text{e}}={\alpha {{\hbar c} \over {m_{\text{e}}c^{2}}}}={\alpha {\lambda _{\text{e}} \over 2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.$

Derivação

A motivação para a obtenção do raio clássico do elétron pode estar no cálculo da energia necessária para manter uma quantidade de carga $q$ em uma esfera de um determinado raio $r$. O potencial eletrostático a uma distância r de uma carga $q$ é

$V(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}$.

Para trazer uma quantidade adicional de carga $dq$ desde o infinito, necessita-se colocar energia no sistema, $dU$

$dU=V(r)dq$.

Ao assumir que a esfera tem uma densidade de carga constante, $\rho$, temos

$q=\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ e $dq=\rho 4\pi r^{2}dr$.

Fazendo a integração de $r$ começando em zero até um raio final $r$ leva-nos à expressão da energia total, $U$, necessária para manter a carga total $q$ em uma esfera uniforme de raio $r$:

$U={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3}{5}}{\frac {q^{2}}{r}}$.

Esta é a chamada auto-energia eletrostática do objeto. A carga $q$ é agora interpretada como um elétron de carga $e$ e energia $U$ definida igual à massa-energia relativística do elétron, $mc^{2}$ e o fator numérico 3/5 é ignorado como sendo específico para o caso especial de uma densidade de carga uniforme. O raio $r$ é, então, definido como sendo o raio clássico do elétron, $r_{\text{e}}$ e chega-se à expressão dada acima.

Note que esta derivação não dizer que $r_{\text{e}}$ é o raio de um elétron. Ela apenas estabelece uma ligação dimensional entre a energia eletrostática e a massa-energia do elétron.

Discussão

O raio do elétron ocorre no limite clássico das teorias modernas, tais como o espalhamento Thomson não-relativístico e a fórmula relativística Klein–Nishina. Além disso, $r_{\text{e}}$ é mais ou menos o comprimento de escala em que a renormalização se torna importante na eletrodinâmica quântica. Isto é, em distâncias pequenas, flutuações quânticas no vácuo ao redor de um elétron começam a ter efeitos calculáveis, que tem consequências mensuráveis na física atômica e de partículas.

Ligações externas

• Escalas de comprimento em Física: o raio clássico do elétron