Redução de ordem

O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.^[1]

Suponha que seja conhecida uma solução $y_{1}(t)\,$ , não identicamente nula, de

y''+p(t)y'+q(t)y=0\,

. (1)

Para encontrar uma segunda solução, seja

y=v(t)y_{1}(t)\,

(2)

então,

y'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y'_{1}(t)\,

e

y''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y'_{1}(t)+v(t)y''_{1}(t)\,

Substituindo essas expressões para $y,y'$ e $y''$ na equação (1) e unindo os termos, encontramos:

y_{1}v''+(2y'_{1}+py_{1})v'+(y''_{1}+py'_{1}+qy_{1})v=0\,

.

A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função $v'$ e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada $v'$ , $v$ é obtida por integração.

Finalmente, a solução $y$ é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para $v'$ em vez da equação de segunda ordem original para $y$ .^[2]

2× + y= 6

Dado que $y_{1}(t)=t^{-1}\,$ é uma solução de

2t^{2}y''+3ty'-y=0\,

(3)

t>0

,

encontrar uma segunda solução linearmente independente.^[3]

Vamos fazer $y=v(t)t^{-1}\,$ , então:

y'=v't^{-1}-vt^{-2}\,

,

y''=v''t^{-1}-2v't^{-2}+2vt^{-3}\,

.

Substituindo $y,y'$ e $y''$ na equação (3) e unindo os termos, obtemos:

2t^{2}(v''t^{-1}-2v't^{-2}+2vt^{-3})+3t(v't^{-1}-vt^{-2})-vt^{-1}\,

=2tv''+(-4+3)v'+(4t^{-1}-3t^{-1}-t^{-1})v\,

=2tv''-v'\,

=0

(4)

Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:

v'(t)=ct^{1/2}

;

então,

v(t)={\frac {2}{3}}ct^{3/2}+k

.

Segue que

y={\frac {2}{3}}ct^{1/2}+kt^{-1}

,

onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de $y_{1}$ e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:

y_{2}=t^{1/2}

.

Referências

↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 91. ISBN 978-85-216-1499-9
↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 93. ISBN 978-85-216-1499-9
↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 94. ISBN 978-85-216-1499-9

Ver também

[1] E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 91. ISBN 978-85-216-1499-9

[2] E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 93. ISBN 978-85-216-1499-9

[3] E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 94. ISBN 978-85-216-1499-9

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