Série convexa

Uma série convexa, em matemática, particularmente em análise funcional e análise convexa, é uma série da forma $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ onde $x_{1},x_{2},\ldots$ são todos elementos de um espaço vetorial topológico $X$,e todos $r_{1},r_{2},\ldots$ são números reais não negativos que somam $1$ (isto é, tal que $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1$).

Tipos de série convexa

Suponha que $S$ é um subconjunto de $X$ e $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ é uma série convexa em $X.$

• Se todos $x_{1},x_{2},\ldots$ pertencem a $S$ então a série convexa$\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ é chamada de série convexa com elementos de $S$.
• Se o conjunto $\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}$ é um conjunto limitado (von Neumann) então a série chamada de série b-convexa.
• A série convexa $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ é dito ser uma série convergente se a seqüência de somas parciais$\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }$ converge em $X$ a algum elemento de $X,$ que é chamado de soma da série convexa.
• A série convexa é chamada Cauchy se $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ é uma série Cauchy, que por definição significa que a sequência de somas parciais $\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }$ é uma sequência de Cauchy.